7.Опред. Определителя. Св-ва определителя(с док-вом).
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, ДЕТЕРМИНАНТ - число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования. Обычное обозначение (для матрицы A): det A. Напр., определитель (второго порядка) матрицы
обозначается
и вычисляется следующим образом:
det A = a11a22 — a12a21.
Определитель матрицы, в которой вычеркнуты произвольная строка (напр. i-я), и произвольный столбец (напр. j-й), называется минором.
В частности, формула вычисления
определителя матрицы
такова:
Свойства:
При добавлении к любой строке (столбцу) других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
8. Лемма о знаке члена определителя(с док-вом)
Произведение ai1k1 ai2k2...ainkn входит в определитель со знаком (-1)t(pi)+t(pk), где t(pi)- количество инверсий перестановки первых индексов i1i2…in, t(pk)- количество инверсий перестановок вторых индексов k1k2…kn.
9. Опред. Mij,Aij, Лемма(с док-вом)
10.Теорема о разложении определителя по эллементам строки, столбца (с док-вом). Следствие (без док-ва). Формула Бине-Коши.
Теорема. Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример. Вычислим определитель из предыдущего примера разложением по второй строке:
Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Формула Бине — Коши:
Произведение двух прямоугольных матриц
и
дает
квадратную матрицу порядка
,
если
имеет
столбцов
и
строк,
а матрица
имеет
столбцов
и
строк.
Миноры матриц
и
одинакового
порядка, равного наименьшему из чисел
и
,
называются соответствующими друг
другу, если они стоят в столбцах (матрицы
)
и строках (матрицы
)
с одинаковыми номерами.
Определитель матрицы
|
равен нулю, если
,
и равен сумме попарных произведений
соответствующих друг другу миноров
порядка
,
если
(сумма
берется по всем наборам столбцов
матрицы
и
строк матрицы
с
возрастающими номерами
).
11. Определение Линейно Независимых и Линейно Зависимых столбцов. Св-ва лз(лнз) столбцов (с док-вом).
Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие и наоборот.
12. Критерий лз столбцов (с док-вом)
Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависма, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы (мог быть представлен в виде разложения по векторам системы).