14. Теория дш (функция доверия, мера правдоподобия)

Меры доверия и правдоподобия в ТДШ

Мера доверия А, обозначаемая  , измеряет полное число доверий в А. Математически это может быть выражено, как

Функция   называется функцией доверия (от англ. believe - доверять), если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Доверие к нулевой гипотезе равно 0, т.е. 

2. Доверие ко всему фрейму различения равно 1, т.е. 

3. Сумма доверий А и  А должна быть  1, т.е. 

Таким образом, функция доверия будет равна базовым вероятностям в случае множеств, состоящих из одного элемента (элементарного исхода), и будет больше или равна базовым вероятностям для множеств, содержащих более одного элемента, т.е.

, если А - множество из одного элемента,

, если А - содержит более одного элемента.

14. Теор дш отличие от классической теории вероятности

Отличие ТДШ от теории вероятностей

В теории вероятностей, равномерное априорное распределение описывает полное незнание. Однако это не делает различие между полным незнанием и знанием, что случайная величина или событие равномерно распределено.

С другой стороны ТДШ выражает незнания явно. Например, если А и В - только гипотезы, то в теории вероятностей незнание об А и В выражается, как Р(А)=Р(В) = 1/2. В ТДШ, m({A}) = m({В}) = 1/2 показывает, что доверия к А и В одинаковы, но нет незнания.

Функция доверия, в этом случае, называется байесовской функцией доверия. То есть, если все фокальные элементы - отдельные элементы (элементарные события), то не существует незнания относительно их возникновения. Если некоторый фокальный элемент содержит более чем один элемент, то существует некоторое незнание.

В теории вероятностей, вероятность отрицания гипотезы фиксируется, если известна вероятность А, т.к.  . Аналогичный результат в ТДШ дает  .

Однако использование ТДШ ведет к комбинаторному взрыву, т.к. пространство гипотез существенно увеличивается. Чтобы заполнить это пространство, эксперт должен определить все доверия на всех подмножествах пространства возможных гипотез перед тем, как создавать ЭС.

Конечно, эксперт должен определить базовые вероятности только для интересующих его подмножеств, т.к. все остальные подмножества будут иметь нулевые базовые вероятности. В то же время, пока нет эффективной процедуры логического вывода. Это приводит к тому, что в настоящее время не так много систем строится на использовании ТДШ.

14. Комбинации функций доверия

Комбинация функций доверия

Если текущие свидетельства ведут к множественным довериям относительно одних и тех же гипотез, то доверия необходимо комбинировать для получения общего доверия к гипотезам. Для рассмотрения доверий, ТДШ обычно комбинирует различные функции доверия, вычисляя их ортогональные суммы по правилу Демстера.

Пусть имеем два свидетельства. Одно из них задаётся множеством, определённых на фрейме различения, базовых вероятностей m1, то есть

и позволяет определить доверия к тем или иным гипотезам. В общем случае ко всем возможным на гипотезам. При поступлении нового свидетельства также задаётся множеством базовых вероятностей ,

определяющих новое доверие к гипотезам. Если же мы хотим распространить доверие, то есть учесть в логическом выводе оба поступивших свидетельства ,

то для этого необходимо вычислить ортогональные суммы базовых вероятностей, определённых для каждого из свидетельств, то есть

Исходя из правила Демстера, ортогональные суммы определяются следующим выражением:

где K- нормировочная постоянная, определяемая следующим образом:

Если  . Если  , то ортогональная сумма не существует и базовые вероятности m1 и m2 противоречивы.

Значение logK называется весом конфликтности между  . Таким образом, если   не конфликтны, то  . Если   полностью противоречивы, то . Ортогональные суммы являются коммунитативными и ассоциативными.

Рассмотрим пример. Пусть две функции доверия, соответствующие двум свидетельствам, заданным базовыми вероятностями m1 и m2, определённым на одном и том же фрейме различения  имеют вид:

На основе первого свидетельства может быть определён диапазон, в котором находится вероятность, каждой из гипотез. В частности:

.

При поступлении и учёте свидетельства 2 можно распространить доверия на основе вычисления ортогональных сумм. Промежуточные вычисления представим в виде таблицы

Тогда вычислив

можно будет определить значения ортогональные суммы базовых вероятностей

Все другие подмножества   имеют комбинированные доверия равные 0 и сумма всех комбинированных базовых вероятностей для   равна 1. На основе этих базовых вероятностей могут быть вычислены доверия и правдоподобия для всех необходимых гипотез. С учётом распространения доверия на основе двух, полученных от экспертов свидетельств получим  . Это говорит о том, что вновь поступившее свидетельство (свидетельство 2) снижает наше доверие к использованию к использованию для транспортировки автотранспорта