• Теория демфера-Шемфера (фрейм различия, базовая вероятность)

Прежде всего, остановимся на основных понятиях и определениях ТДШ. Возможно, наиболее основным понятием этой теории является фрейм различения  , определяемый как полное множество взаимоисключающих событий. Роль фрейма различения   в ТДШ такая же, как роль выборочного пространства   в теории вероятностей. Однако отличие заключается в том, что если в теории вероятностей число возможных гипотез равно  , то в ТДШ число возможных гипотез равно  и представляет собой все возможные подмножества  .

Рассмотрим еще одно фундаментальное понятие ТДШ, а именно понятие базовой вероятности. Пусть А - некоторое подмножество  . Основная мера вероятности, обозначаемая m(A), - это базовая вероятность, приписываемая множеству А. Величина m(A) может рассматриваться как порция (или доля) от общего доверия, назначаемая точно А. Во многих аспектах это число может рассматриваться подобно обычной вероятности.

Функции р(А) и m(A) в первую очередь отличаются тем, что в теории вероятностей А должно быть отдельным элементом, в то время как в ТДШ А может содержать несколько элементов, т.е. являться множеством. Базовые вероятности должны удовлетворять двум основным свойствам:

1) базовая вероятность нулевого события равна 0 , т.е. 

2) сумма базовых вероятностей для всех подмножеств фрейма различения равна 1, т.е.  .

16. ТДШ

Меры доверия и правдоподобия в тдш

Мера доверия А, обозначаемая  , измеряет полное число доверий в А. Математически это может быть выражено, как

Функция   называется функцией доверия (от англ. believe - доверять), если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Доверие к нулевой гипотезе равно 0, т.е. 

2. Доверие ко всему фрейму различения равно 1, т.е. 

3. Сумма доверий А и  А должна быть  1, т.е. 

Таким образом, функция доверия будет равна базовым вероятностям в случае множеств, состоящих из одного элемента (элементарного исхода), и будет больше или равна базовым вероятностям для множеств, содержащих более одного элемента, т.е.

, если А - множество из одного элемента,

, если А - содержит более одного элемента.

17. ТДШ

Отличие тдш от теории вероятностей

В теории вероятностей, равномерное априорное распределение описывает полное незнание. Однако это не делает различие между полным незнанием и знанием, что случайная величина или событие равномерно распределено.

С другой стороны ТДШ выражает незнания явно. Например, если А и В - только гипотезы, то в теории вероятностей незнание об А и В выражается, как Р(А)=Р(В) = 1/2. В ТДШ, m({A}) = m({В}) = 1/2 показывает, что доверия к А и В одинаковы, но нет незнания.

Функция доверия, в этом случае, называется байесовской функцией доверия. То есть, если все фокальные элементы - отдельные элементы (элементарные события), то не существует незнания относительно их возникновения. Если некоторый фокальный элемент содержит более чем один элемент, то существует некоторое незнание.

В теории вероятностей, вероятность отрицания гипотезы фиксируется, если известна вероятность А, т.к.  . Аналогичный результат в ТДШ дает  .

Однако использование ТДШ ведет к комбинаторному взрыву, т.к. пространство гипотез существенно увеличивается. Чтобы заполнить это пространство, эксперт должен определить все доверия на всех подмножествах пространства возможных гипотез перед тем, как создавать ЭС.

Конечно, эксперт должен определить базовые вероятности только для интересующих его подмножеств, т.к. все остальные подмножества будут иметь нулевые базовые вероятности. В то же время, пока нет эффективной процедуры логического вывода. Это приводит к тому, что в настоящее время не так много систем строится на использовании ТДШ.

18. ТДШ