Учебное пособие Рекуррентные вычисления (БР) Рекуррентным называется способ построения последовательности а1,а2, при котором каждый член последовательности, начиная с некоторого, выражается через один или несколько предыдущих членов. Приведем несколько примеров.
Пусть a1=1, an+1=an+1/an при n ³1. Здесь каждый член последовательности, начиная со второго, выражается через предыдущий.
Пусть a1=1, an+1=(n+1)an при n³1. Здесь каждый член последовательности, начиная со второго, выражается не только через предыдущий член, но и через п. Заметим, что an=n!.
Пусть a1=а2=1, аn= аn-2+аn-1 при n³3. Здесь каждый член последовательности, начиная с третьего, выражается через два предыдущих. Это известная последовательность чисел Фибоначчи.
Пусть a1=1, а2=0, при n³ 3. Здесь каждый член последовательности, начиная с третьего, выражается через все предыдущие и число n.
Разумеется, каждую последовательность можно строить по-разному, например, каждый член последовательности теоретически полностью определяется ее номером. Но часто такую зависимость невозможно выразить с помощью простых функций (например, факториал), в других случаях формула выглядит достаточно сложно. Так, числа Фибоначчи задаются формулой . Этой формулой часто пользоваться сложнее, чем рекуррентным способом построения.
Следует отметить, что если последовательность задана прямой зависимостью от члена номера, то объем вычислений почти не зависит от номера в то время, как при рекуррентном задании чем больше номер, тем больше вычислений требуется.
Рекуррентные построения являются основой для одной из важнейших алгоритмических конструкций - рекурсии. Рекуррентные соотношения могут порождать несколько связанных последовательностей - см., например, задание 8.6.
[Предыдущая тема] [Решение задач ][Тестирование] [Следующая тема]