Учебное пособие Комбинаторика Комбинаторика изучает методы перечисления или пересчета элементов конечных множеств. В информатике комбинаторные методы применяются для построения алгоритмов.
Сформулируем основные принципы подсчета чисел элементов конечных множеств. Эти принципы иллюстрируются подходящими примерами. Принцип умножения. Пусть для выполнения некоторого действия надо последовательно выполнить две операции, причем первую операцию можно выполнить n способами и после любого способа выполнения первой операции вторую можно выполнить m способами. Тогда всего существует m?n способов выполнения действия. Принцип включений и исключений. Если |А| число элементов множества А, то справедливы равенства: |АÈВ|=|А|+|В|-|АÇВ| (для двух множеств), |АÈВÈС|=|А|+|В|+|С|-|АÇВ|-|ВÇС|-|СÇА|+|АÇВÇС| (для трех множеств); можно выписать аналогичные формулы для любого числа множеств. Частным случаем принципа включений и исключений является принцип сложения: число элементов объединения семейства попарно непересекающихся множеств равно сумме чисел элементов объединяемых множеств. Этот принцип очевиден, но удачно разбить множество на непересекающиеся подмножества не всегда просто. Размещения с повторениями. Если в алфавите n букв, то различных слов, содержащих m букв, существует nm. (Буквы в слове могут повторяться, слова считаются различными, если они отличаются хотя бы одним символом.) Каждая из таких комбинаций называется размещением с повторениями. Например, если алфавит состоит из трех букв a,b,c все возможные размещения с повторениями, состоящие из двух букв, таковы: aa, ab,ac,ba, bb, bc, ca, cb, cc. Размещения без повторений. Пусть в множестве, содержащем m различных предметов, предметам необходимо присвоить номера от 1 до n£m. Нумерации считаются различными, если они различаются предметами, занумерованными хотя бы одним номером. Каждая такая нумерация называется размещением без повторений. Например, если m=3 и множество имеет вид {a,b,c}, то все размещения без повторений при n=2 таковы: ab, ac, ba, bc, ca, cb (на первом месте элемент с номером 1, на втором - с номером 2, обычно элементы не нумеруют, а располагают один за другим). Всего таких нумераций существует . Факториал числа n равен n!=1×2×...×n при n=1,2,3,... По определению 0!=1. [Предыдущая тема] [Решение задач] [Тестирование] [Следующая тема]