29. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Пример.

Ряд, у которого 2 соседних члена имеют противоположные знаки, называются знакочередующимися. u₁-u₂+u₃-u₄+…+(-1)^n-1u_n+… , где u_n>0

Сходимость знакочередующегося ряда определим по признаку Лейбница:

1)проверим необходимый признак:

2)члены ряда по абсолютной величине должны убывать:

Далее составляем ряд из модулей и определяем его сходимость. Если ряд из модулей сходится, то знакочередующийся ряд сходится, притом абсолютно. Иначе, сходится условно.

Пример: исследовать сходимость ряда:

Общий вид ряда:

Сходимость определим по признаку Лейбница: 1) проверим необходимый признак:

2) по признаку Лейбница: 1> - ряд сходится

3)составим ряд из модулей: - знакоположительный ряд.

Проверим необходимый признак: , проверим достаточный признак: сравним с рядом , p= <1, => ряд расходится.

Ответ: знакочередующийся ряд сходится условно.

30. Степенные ряды, их сходимость. Нахождение интервала сходимости. Пример.

Ряды, члены которого являются функциями аргумента х, называются степенными.

c₀+c₁x+c₂x²+…+c_nxⁿ+… , числа c₀, c_1,c_{2 …} c_n – коэффициенты степенного ряда.

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Чтобы определить сходимость, найдем радиус сходимости:

<1 ; ,

a_n – коэффициент при х в формуле n-члена, a_n+1 – получаем заменой n на n+1 в формуле n-члена.

Составим интервал сходимости: -R<x<R

Также проверим сходимость на концах интервала. Пусть х=-R, подставим его в формулу u_n, получим числовой ряд. Если этот ряд сходится, то левый конец включаем, т е х -R, если ряд расходится, то х>R.

Аналогично проверим 2-й конец, берем х=R. Это неравенство служит ответом.

Пример: Найти область сходимости степенного ряда: 1+х+х²+…+хⁿ

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q=x, который сходится при <1. Отсюда -1<x<1, т е областью сходимости является интервал (-1;1)