25.Дискретные случайные величины и их характеристики

В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается  .

Точнее. На вероятностном пространстве   заданы случайные величины  ; каждому w   W эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор  , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).

 

Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.

 

Функцией распределения случайного вектора   или совместным распределением случайных величин   называется функция, определенная равенством

,

где  .

По известной многомерной функции   можно найти распределение каждой из компонент  .

Например, если   - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение  , то распределения компонент   и   вычисляются соответственно по формулам:

,  .

В дальнейшем будем рассматривать двумерные случайные векторы.

Случайный вектор   называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция  , что для любого прямоугольника W  на плоскости   вероятность события   равна

.

Функция   в этом случае называется совместной плотностью распределения.

Легко показать, что  .

Если  - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора  , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:

и  .

Если   - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин   и   чаще всего называют таблицу вида

 

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

где   и  .

По этой таблице можно найти распределения   и   компонентx и h . Они вычисляются по формулам:

.

Независимость случайных величин

 

Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение (x , h ) по распределениям величин x и h , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины x и h независимы.

Случайные величины x и h называются независимыми, если для любых x₁, x₂   R²справедливо равенство:

F_x ,h (x₁, x₂)= F_x (x₁)F_h ( x₂).

Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно следующему:

случайные величины называются независимыми, если

p_x ,h (x₁, x₂)= p_x  (x₁) p_h (x₂)

во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.

Для дискретных случайных величин x и h с матрицей совместного распределения {p_ij} условие независимости x и h имеет вид:

p_ij = P(x = x_i, h = y_j) = P(x = x_i) P(h = y_j),

для всех i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

 

Условные распределения случайных величин

 

Если две случайные величины x и h зависимы, то информация о том, какое значение на самом деле приняла одна из них, меняет наше представление о распределении другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения.

 

Условные распределения дискретных случайных величин

 

Пусть дана двумерная случайная величина (x ,h ) с распределением

 

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

 

Тогда распределения случайных величин x и h имеют соответственно вид:

 

x	x1	x2	...	xn
p	p1·	p2·	...	pn·

 

h	y1	y2	...	yn
	p· 1	p· 2	...	p· n

 

точка · в индексе означает суммирование по строкам или по столбцам:

,  .

Условным распределением случайной величины   при условии, что случайная величина  приняла значение  , называется распределение:

 

x	x1	x2	...	xn
p			...

Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей величины   в этом распределении равна единице:   для всех j = 1, 2, …, m.

Совершенно аналогично условным распределением случайной величины   при условии, что случайная величина   приняла значение  , называется распределение:

 

h	y1	y2	...	yn
p			...

И   для всех i = 1, 2, …, n.

Если условные распределения случайных величин x и h отличаются от их безусловных распределений, то случайные величины x и h зависимы.

 

Условные распределения непрерывных случайных величин

Если   - плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины  , то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:

,  .

Условной плотностью распределения случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение h = y₀, называется функция переменной x, определяемая формулой

.

Аналогично, условной плотностью распределения случайной величины   при условии, что случайная величина x принимает значение x = x₀, называется функция переменной y, определяемая формулой

.