21.Геометрическая интерпретация вероятностей. Вывод формулы для суммы совместимых событий

22.Умножение вероятностей

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей: если события   попарно несовместны, то справедливо равенство

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

Для произвольных событий A и B имеет место формула:

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:

Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

События   называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события   независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

В частности, если события   независимы, то

Пример 1.

Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение.

Введем обозначения: событие A – попадание первого стрелка, событие B – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков.

Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)

Так как события А и В независимы, то

Наконец, учитывая, что p(A) = 0,8, p(B) = 0,6, получаем:

23.Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение

Пусть   — фиксированное вероятностное пространство. Пусть   суть два случайных события, причём  . Тогда условной вероятностью события   при условии события   называется

Замечания

• Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

.

• Если  , то изложенное определение условной вероятности неприменимо.

• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция  , заданная формулой

,

Пример

Если   — несовместимые события, то есть   и  , то

и

.

24.Полная вероятность. Формула Байеса

Пусть событие A может наступить только с одним из n попарно несовместных событий  , которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

. Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность  можно переоценить, т.е. найти условные вероятности   . Эта задача решается по формуле Байеса:

где   вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример.

В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение.

Введем обозначения:

А – шар, извлеченный из второй урны, белый;

гипотезы   – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара,

 – переложены 2 разноцветных шара,

 – переложены 2 черных шара.

Тогда

Вероятности гипотез   и условие вероятности   вычисляем по классической схеме:

Полученные результаты подставим в формулу полной вероятности:

б) Вероятность   находим по формуле Байеса: