8. Вывод формулы математического ожидания для биномиального распределения.

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и Р, если принимает конечные значения:

0,1,2,…,n с вероятностью (m=0,1,2,…,n):

Р(Х=m)= *pⁿ*q^n-m где q=1-p.

Заметим, что биномиальное распределение случайной велечины Х с параметрами n и Р, показывает число успехов в схеме Бернулли с параметрами n и Р.

Теорема. Математическое ожидание для биномиальной распределенной величины с параметрами n и Р, вычисляется по формуле:

М(Х)= n*Р

Доказательство. Введем случайную величину Хi число успехов в оном i-м эксперименте в схеме Бернулли с параметрами n и Р. Тогда последовательность случайных величин Х1, Х2,…,Хn независимые в совокупности и имеют одинаковые распределения. Причем закон распределения случайной величины Хi задается с помощью следующей таблицы:

Хi	0	1	∑
Р	q	p	1

Где p+q=1.

Находим математическое ожидание случайной величины Xi (i>1,2,…,n):

M(Xi)=0*q+1*p=p

Согласно определению биномиальной распределенной величины Х с параметрами n и Р можно представить как суммы независимых случайных величин:

Х=Х1+Х2+…+Хn

Т огда в силу свойства независимость математического ожидания:

M(X)=M(X1+X2+…+Xn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)=P+P+…+P=n*P

n раз

9. Вывод формулы дисперсии для биномального распределения.

Определение.

Дискретная случайная величина X имеет биномальное распределение с параметром n и p, если принимает значение 0,1,2…..,n с вероятностью

P(X=m)=C_n^m *p^n-m *q^n-m

Где q=1-p.

Заметим ,что биномальная распределения случайная величина Х с параметром n и p показывает число успехов в схеме Бернули с параметром также n и p.

Теорема.

Дисперсия для биномальной распределенной случайной величины с параметром n и p, вычисляется по формуле: D(X)=n*p*q.

Доказательство.

Введем случайную величину Х₀ число успехов в одном i-ом эксперименте в схеме Бернули с параметром n и p. Тогда последовательность случайных величин Х₁,Х₂,….Х_n независимое в совокупности и одинаково распределенные, с законом распределения.

Хi	0	1
P	q	p	i

Находим дисперсию случайной величины Х_i, по формуле

D(X)=M(X²)-(M(X))²=0² *q+1² *- (0*q+1*p)²=p-p²=p(1-p)=p*q

Согласно определению биномальной распределенной случайной величины Х с параметрами n и p можно представить в сумме n независимых случайных величин X_C:

X=X₁+X₂+…..X_n

Тогда в силу свойства независимости дисперсии, получаем:

D(X)=D(X₁+X₂+…..X_n)=D(X₁)+D(X₂)+….+D(X_n)=p*q+p*q+….+p*q=n*p*q

10. Вероятность появления хотя бы одного события .

Теорема.

Пусть события A_1,A₂,…A_n независимые в совокупности и P(A_i)=P_i для i=1,2…n.

Тогда вероятность появления хотя бы одного из событий A_1,A₂,…A_n (A_1,+A₂+,…+A_n), вычисляется по формуле:

P(A_1,+A₂+,…+A_n)=1-q₁*q₁…q_n, где q_i=1-p_i

Доказательство. В силу свойств действия над событиями появления хотя бы одного события, т.е. суммы событий A_1,+A₂+,…+A_n можно представить в виде:

A_1,+A₂+,…+A_n=A₁*A₂….A_n

Так как

P(A_1,+A₂+,…+A_n)+ P(A_1,+A₂+,…+A_n)=1-P(A₁*A₂….A_n)

D в силу независимости событий A_1,A₂,…A_n из последнего равенства, следует

P(A_1,+A₂+,…+A_n)=1-P(A₁)*P(A₂)….P(A_n)=1-q₁*q₂…q_n, где q_i=P(A_i)=1- P(A_i)=1-P_i