34. Сравнение бесконечно малых. Первый замечательный предел.

Первый замечательный предел

35. Неопределённые выражения. Основные приёмы раскрытия неопределённостей.

Неопределённые выражения в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах.

Приемы(см вкладку)

36. Дифференцируемость функции, дифференциал и производная.

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества.. условием дифференцируемости является непрерывность функции

Дифференциал функции - это произведение производной f ’( x0 ) и приращения аргумента :

df = f ’( x0 ) · .

Производная задаёт касательную в какой-то точке графика.

Дифференциал показывает, какое бы значение было у функции, если эту функцию заменить её касательной ("кривой" график поменять на прямую).

дифференциал - это часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента: dy = y` dx - (похоже на уравнение прямой линии - y = kx, поэтому называется линейной частью), коэффициент y` - это производная.

Производная, по определению, - это предел отношения dy / dx при dx стремящемся к 0.

37. Правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование.

Правила д.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него

38.Будет дан пример. Необходимо взять дифференциал второго порядка.Производные и дифференциалы высших порядков.

39. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля.

теорема Ферма

Для любого натурального числа n>2 уравнение

не имеет натуральных решений a ,b и c .

теорема Ролля

Если вещественная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

44. Исследование функций и построение графиков.

См приложение/ тетрадь

45. Функция нескольких переменных

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).(см.тетрадь)

48.Также как и в 38 вопросе. Только дифференциал первого порядка.Дифференцируемость функции нескольких переменных, дифференциал первого порядка, частные производные и частные дифференциалы первого порядка. (см тетрадь)

49. Градиент функции, производная по направлению.

Градие́нт— вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

50. На примере.Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. См тетрадь

51. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных.

52. Условные экстремумы функции нескольких переменных. Основные методы поиска условных экстремумов.

53. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица элементарных интегралов.

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом

54. Свойства неопределённого интеграла. Вычисление интегралов непосредственным интегрированием с учётом свойств интеграла.

Свойства:

1)постоянную можно выносить за знак интеграла

2)интеграл суммы равен сумме интегралов

3)производная от интеграла равна подынтегральной функции

4)интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования

2. Множества и их важнейшие свойства. Основные действия над множествами.

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Свойства: Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым множеством. Его обозначается знаком . Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М. Каждое множество М является подмножеством самого себя: ММ. Любое подмножество N множества М, отличное от М, называется собственным подмножеством множества М. Операций над множествами: а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно. Обозначение: МN = {х|хМ и хN}. б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: MN = {х | хМ или хN}. в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = {х | хМ и хN}. г) Симметрической разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М - или только множеству N. Обозначение: MN ={ x | (xМ и хN) или (хN и хМ)}