14) Распределение Пуассона

p, q=1-p, (k)=

np – велико  Теорема Муавра-Лапласа

np – мало  Приближение Пуассона

λ:=np (среднее количество успехов)

(0)= = = = =

= = ==> (k)= *

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

15)Закон распределения дискретной случайной величины

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х1, х2, ..., хn с соответствующими им вероятностями р1, р2, ..., рn:

X
P

16) Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

где – возможные значения случайной величины X, а – соответствующие вероятности.

Замечание. Вышеприведенная формула справедлива для дискретной случайной величины, число возможных значений которой конечно. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу:

причем это математическое ожидание существует при выполнении соответствующего условия сходимости числового ряда в правой части равенства.

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

17) Математическое ожидание числа успехов при испытания по схеме Бернулли

Найдем математическое ожидание числа успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р.

Случайная величина , равная числу успехов в n испытаниях Бернулли, имеет биномиальное распределение:

Математическое ожидание случайной величины Х можно вычислить непосредственно по формуле:

Однако в данном случае удобнее воспользоваться тем фактом, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Обозначим через Х_i случайную величину, равную числу успехов в i-м испытании Бернулли;

тогда Р{X_i=0}=q, P{X_i=1}=p, MX_i=p.

Случайная величина и, следовательно,

Для отрицательного биномиального распределения .