1.Образование проекций. Проекции центральные. Проекции параллельные. Проецирование - это процесс полу­чения изображения предмета на какой-либо поверх­ности. Получившиеся при этом изображение называют проекцией предмета.

Элементами, с помощью которых осуществляется проецирование, являются центр проецирова­ния - точка, из которой производится проецирование; объект проецирования - изображаемый предмет; плоскость проекции - плоскость, на которую производится проецирование; проецирующие лучи - воображаемые прямые, с помощью которых производится проецирова­ние. Результатом проецирования является изображение, или проекция, объекта.

Различают центральное и параллельное проеци­рование. При центральном проецировании( его еще называют коническим) все проеци­рующие лучи исходят из одной точки - центра проеци­рования, находящегося на определённом расстоянии от плоскости проекций. Решение задачи не обратимо, нельзя по S и проекции точки на плоскости найти точку в пространстве. При параллельном проецировании все проеци­рующие лучи параллельны между собой. Это частный случай центрального проецирования. Центр бесконечно удален. Решение задачи тоже не обратимо. Ортогональное проецирование – частный случай параллельного. Проецирующий луч перпендик-н к пл-и проекции.

2 .Точка в системе трех плоскостей П1, П2, П3. П1 – горизонтальная плоскость проекции. П2 – фронтальная. Третья плоскость, перпендикулярная и П1, и П2, П3 и называется профильной. Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают до совмещения с плоскостью П2. Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата). Горизонтальная и фронтальная проекции (А¹ и А") расположены на одном перпендикуляре к оси х- на линии связи А"А', фронтальная и

профильная проекции (А" и А") -- на одном перпендикуляре к оси z - на линии

связи А"А".

3. Точка в четвертях и октантах пространства.

Плоскости 1 и 2 при пересечении образуют четыре двугранных угла; их называют четвертями пространства. Ось проекций делит каждую из плоскостей 1 и 2 на "полы" (полуплоскости), условно обозначенные I,II,III, IV. Если, например, точка расположена во второй четверти, то горизонтальная проекция получается на П 1, а фронтальная -- на П 2. Считают, что зритель всегда находится в первой четверти. Плоскости проекций считают

непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти,

а также на полуплоскостях и 2.

4 . Проекции отрезка прямой линии. Любой отрезок можно представить как определенную совокупность точек, поэтому, чтобы получить проекцию отрезка АВ на плоскости Н, нужно построить проекции точек А и В, затем соединить их между собой, получив тем самым проекцию отрезка прямой — ab (рис. 113).

5. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей проекций. Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций ,называют прямой общего положения. Прямую, параллельную или перпендикулярную одной из плоскостей проекций, называют прямой частного положения.

1. Прямые, параллельные одной плоскости проекции. Прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью и обозначают на чертежах h . Прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталью и обозначают f. Прямую, параллельную профильной плоскости проекций, называют профильной и обозначают р . Параллельность одной из плоскостей проекций определяет расположение двух других проекций прямой уровня: h₂ || П₂/П₁ ; h₃ _|_ П₂/П₃ ; f₂ || П₂/П₁; f₃ _|_ П₂/П₃ ; p₁ _|_ П₂/П₁ ; p₂ _|_ П₂/П₁ ;

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими.  Эти прямые, будучи перпендикулярными одной плоскости проекций, оказываются параллельными двум другим плоскостям проекций. Поэтому у проецирующих прямых одна проекция превращается в точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают на чертеже с направлением линии связи. Различают горизонтально проецирующие прямые (АВ), фронтально проецирующие прямые (CD) и профильно проецирующие прямые (EF).

2. Прямые, параллельные двум плоскостям проекций (проецирующие прямые) Прямая, параллельная двум плоскостям проекции, параллельна оси проекции образуемый пересечением этих плоскостей, и перпендикулярная третьей плоскости проекции, поэтому эти прямые рассматривают как прямые перпендикулярные плоскостям проекции и называют проецирующими прямыми. Прямую, перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтально проецирующим. Прямую, перпендикулярную фронтальной плоскости проекций, называют фронтально проецирующим. Прямую, перпендикулярную профильной плоскости проекций, называют профильно проецирующим.

6. Следы прямой линии. Точка на прямой линии. Следом прямой линии называется точка (рис. 26), в которой прямая пересекается с плоскостью проекций (так как след - точка, принадлежащая одной из плоскостей проекций, то одна из её  координат должна быть равна нулю). Горизонтальный след - М (z_M=0)-точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций. Фронтальный след - N (y_N=0)- точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций. Профильный след - Т (x_Т=0)- точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций.

		эпюр
Рисунок 26.Следы прямой линии в системе трех плоскостей проекций

Следы прямой являются точками частного положения. Одноименные проекции следа прямой совпадают с  самим следом, а другие проекции лежат на осях. Например, фронтальный след прямой N₂ºN, а N₁ лежит на оси x, N₃ - на оси z. Отмеченные особенности в расположении следов  проекций позволяет сформулировать  следующие правила:

1. Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью 0x и в этой точке восстановить перпендикуляр  к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

2. Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

С помощью этих правил найдены на эпюре следы прямой а (рис.27) . Здесь же показаны совпавшие проекции точки А, принадлежащей рассматриваемой прямой. Особенность этой точки в том, что она равноудалена от плоскостей проекций, то есть находятся в биссекторной плоскости S2бис.

Следы прямой, являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой, позволяют отмечать её видимость. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта.

7. Взаимное положение двух прямых. Прямые  линии в пространстве могут быть параллельными,  пересекающимися и скрещивающимися.

1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. Если AB//CD то A₁B₁//C₁D₁; A₂B₂//C₂D₂; A₃B₃//C₃D₃ (рис.33). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 33. Параллельные прямые

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций  (рис. 34). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П₃ пересекаются, следовательно, они не параллельны.

Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:

А₂В₂/ А₁В₁= С₂Д₂/ С₁ Д₁Þ АВ//СД

А₂В₂/ А₁В₁¹ С₂Д₂/ С₁Д₁Þ АВ#СД

а) модель		б) эпюр
Рисунок 34. Прямые параллельные профильной плоскости проекций

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 35).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 35. Пересекающиеся прямые

В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:

1. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например, профильной (рис.36), то по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, однако сами отрезки не пересекаются, потому что точка пересечения профильных проекций этих отрезков не лежит на одной линии связи с точками пересечения их горизонтальной и фронтальной проекций.

2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 37).

О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции (А₁В₁∩С₁D₁Þ  АВ∩СD).

3. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 38) соответствуют две точки  А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В, лежащая на прямой в,следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и  фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и D решение аналогично).

Этот способ определения видимости по конкурирующим точкам. В данном случае  точки А и В-фронтально конкурирующие, а С и D -горизонтально конкурирующие.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 38. Скрещивающиеся прямые

8. Задание плоскости на эпюре. Следы плоскости. След плоскости Р – это линия пересечения ее с данной плоскостью или поверхностью .

Линию пересечения плоскости Р с горизонтальной плоскостью называют горизонтальным следом и обозначают P_h, а линию пересечения с фронтальной плоскостью – фронтальным следом и обозначают Р_v (рис. 37).

Иногда применяется и профильный след P_w – линия пересечения данной плоскости с профильной плоскостью.

Точки, в которых пересекается плоскость Р с осями проекций, называют точками схода следов. Р_х – точка схода следов на оси х, P_у – на осиу, а Р_z – на оси z (рис. 37). в точке Р пересекаются следы P_h и P_v и т. д.

Следы P_h и P_v плоскости Р являются прямыми, которые и лежат на горизонтальной и фронтальной плоскостях. Они имеют по одной из своих проекций, которые совпадают с осью х: горизонтальный след P_h – фронтальную, а фронтальный P_v– горизонтальную проекции.

Любую плоскость Р можно задать на эпюре с помощью указания положения двух ее следов – горизонтального и фронтального (рис. 38).

Следы P_h и P_v чаще всего изображаются парой пересекающихся или параллельных прямых и поэтому могут определять положение плоскости в пространстве.

9 .  Прямая и точка в плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости,или проходит через одну точку, принадлежащую плоскости,параллельно какой-либо прямой этой плоскости. На рис. 3.12-а плоскость Г задана треугольником. Прямая 1принадлежит плоскости Г, так как 1 принадлежит прямой 12, а 12 принадлежит плоскости Г. Прямая m проходит через точку 3 параллельно прямой АВ, которые принадлежат плоскости Г. Следовательно, m принадлежит плоскости Г. 

Точка принадлежит плоскости,если она расположена на прямой, принадлежащей плоскости. На рис.3.12-б показано построение фронтальной проекции точки А, принадлежащей плоскости S(m½½n), по заданной горизонтальной проекции. Точка А принадлежит плоскости S, так как Апринадлежит прямой 12, а 12 принадлежит S. 

10. Частные положения плоскости. Главные линии плоскости. Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве: