Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора

Пусть  — линейное пространство над полем ,  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где  — единичный оператор.

Сложение моментов

Задача на сложение моментов импульса в квантовой механике такова: заданы модули моментов частиц системы; требуется определить допустимые значения модуля и проекций полного момента. Так, в теории многоэлектронных атомов возникает вопрос о нахождении момента импульса электронной оболочки по известным ( из задачи о частице в центральном поле) моментам отдельных электронов. Аналогично ставится вопрос о суммарном спине нескольких электронов в атоме, о спине ядра, состоящего из протонов и нейтронов. 

Тогда действия сложения моментов относительно точки производятся алгебраически. 

Такая схема сложения моментов называется jj - связью. 

Задание последовательности сложения моментов называется генеалогической схемой. 

Рассматривая закон сложения моментов нескольких частиц или результирующую четность состояния атома, мы затрагивали вопросы, связанные с задачей многих тел в квантовой механике. Но система, состоящая из одинаковых частиц, обладает в квантовой механике одним совершенно особым свойством, вытекающим из квантовых законов движения. Имеется в виду физическая тождественность одинаковых частиц. Так как проследить за движением каждой из одинаковых частиц невозможно - траектории в квантовой механике отсутствуют, нельзя никаким способом указать состояние некоторого выбранного электрона. 

3 Вопрос

Дифракционная решётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка.

Очень большая отражательная дифракционная решётка.

Дифракционная решётка — оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность. Первое описание явления сделал Джеймс Грегори, который использовал в качестве решётки птичьи перья.

Виды решёток

• Отражательные: Штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность, и наблюдение ведется в отражённом свете

• Прозрачные: Штрихи нанесены на прозрачную поверхность (или вырезаются в виде щелей на непрозрачном экране), наблюдение ведется в проходящем свете.

Описание явления

Так выглядит свет лампы накаливания фонарика, прошедший через прозрачную дифракционную решётку. Нулевой максимум (m=0) соответствует свету, прошедшему сквозь решётку без отклонений. В силу дисперсии решётки в первом (m=±1) максимуме можно наблюдать разложение света в спектр. Угол отклонения возрастает с ростом длины волны (от фиолетового цвета к красному)

Фронт световой волны разбивается штрихами решётки на отдельные пучки когерентного света. Эти пучки претерпевают дифракцию на штрихах и интерферируют друг с другом. Так как для разных длин волн максимумы интерференции оказываются под разными углами (определяемыми разностью хода интерферирующих лучей), то белый свет раскладывается в спектр.

Формулы

Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке, называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d.

Если известно число штрихов ( ), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле: мм.

Условия интерференционных максимумов дифракционной решётки, наблюдаемых под определёнными углами, имеют вид:

где

 — период решётки,

 — угол максимума данного цвета,

 — порядок максимума, то есть порядковый номер максимума, отсчитанный от центра картинки,

 — длина волны.

Если же свет падает на решётку под углом , то:

Характеристики

Одной из характеристик дифракционной решётки является угловая дисперсия. Предположим, что максимум какого-либо порядка наблюдается под углом φ для длины волны λ и под углом φ+Δφ — для длины волны λ+Δλ. Угловой дисперсией решётки называется отношение D=Δφ/Δλ. Выражение для D можно получить если продифференцировать формулу дифракционной решётки

Таким образом, угловая дисперсия увеличивается с уменьшением периода решётки d и возрастанием порядка спектра k.

Дифракционная решетка как спектрометр

Как видно из (3.3), положение узких главных максимумов зависит от длины волны . Это позволяет использовать решетку в качестве спектрального прибора. Решетка способна разлагать свет в спектр. Для этого могут быть использованы дифракционные максимумы различных порядков (кроме m = 0). Практически, однако, используются главные максимумы, расположенные в пределах основного лепестка диаграммы излучения одиночной щели, имеющего полуширину . Отсюда можно получить оценку:

(3.5)

Обычно спектрографы с дифракционной решеткой работают при m = 1 или 2, очень редко при m = 3. Качество решетки как спектрального прибора может быть охарактеризовано рядом параметров. К ним относятся угловая дисперсия, дисперсионная область и разрешающая способность.

Угловая дисперсия.

Угловой дисперсией спектральных приборов принято называть величину

(3.6)

В случае решетки, как следует из (3.3), угловая дисперсия равна

(3.7)

Приближенное выражение справедливо в случае малых дифракционных углов.

Дисперсионная область.

Если спектры соседних порядков перекрываются, то спектральный прибор становится непригодным для исследования соответствующих участков спектра. Максимальная ширина спектрального интервала , при которой еще не происходит перекрытия спектров, называется дисперсионной областью спектрального прибора.

Для случая решетки из (3.3) следует :

(3.8)

Как уже было отмечено, в дифракционных решетках используются спектры низких порядков. Поэтому решетки пригодны для исследования широких участков спектра.

Разрешающая способность.

Разрешающей способностью спектрального прибора принято называть отношение

(3.9)

где – минимальный интервал между двумя близкими спектральными линиями, при котором они могут быть разрешены, то есть отделены одна от другой. В качестве критерия разрешения используется обычно критерий разрешения Рэлея. Спектральные линии с близкими значениями и считаются разрешенными, если главный максимум дифракционной картины для одной спектральной линии совпадает по своему положению с первым дифракционным минимумом для другой спектральной линии. Рис. 3.4. поясняет критерий Рэлея.

Рисунок 3.4. Кретерий спектрального разрешения Рэлея.

Так как спектральные линии, изображенные на рис. 3.4, некогерентны, результирующая интенсивность равна сумме интенсивностей (сплошная кривая на рис. 3.4). Наличие провала в центре кривой распределения интенсивности указывает на условный характер критерия Рэлея.

Для разрешающей способности дифракционной решетки легко получить из выражения (3.3):

Угловая дисперсия и разрешающая способность решетки

Угловая дисперсия дифракционной решетки:

где δ. - угловое расстояние между двумя спектральными линиями с разностью длин волн δλ, "фи" - угол дифракции, k=1,2,3...

Разрешающая способность решетки (вывод с использованием критерия Релея).

Разрешающей способностью спектрального при¬бора назовем безразмерную величину , где - абсолютное значение минимальной разности длин волн двух соседних спектральных линий, при которой эти линии регистрируются раздельно. Пусть максимум m-го порядка для длины волны наблюдается под углом , т.е. . При переходе от максимума к соседнему минимуму, разность хода меняется на , где N – число щелей решетки. Следовательно минимум , наблюдаемый под углом , удовлетворяет условию . По критерию Релея (Изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми симметричными контурами раз¬решимы (разделены для восприятия), если цен¬тральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифр. картины от другого), или . т.к. и близки между собой, т.е. , то согласно : . Таким образом разр. способность дифр решетки пропорцио¬нальна порядку m спектров и числу Nщелей, т.е. при заданном N увеличивается при переходе к спектрам высших порядков. Современные ре¬шетки обладают разр способностью до 2*10в5.