2 Вопрос
Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).
Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.
Момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Момент импульса в квантовой механике
Оператор момента
В
квантовой
механике момент импульса квантуется,
то есть он может изменяться только по
«квантовым уровням» между точно
определенными значениями. Проекция на
любую ось момента импульса частиц,
обусловленного их пространственным
движением, должна быть целым числом,
умноженным на
(
с чертой), определяемой, как постоянная
Планка, поделенная на
.
Эксперименты показывают, что большинство
частиц имеют постоянный внутренний
момент импульса, который не зависит от
их движения через пространство. Этот
спиновой
момент импульса всегда кратен
.
Например, электрон
в состоянии покоя имеет момент импульса
.
В
классическом определении момент импульса
зависит от 6 переменных
,
,
,
,
,
и
.
Переводя это на квантовомеханические
определения, используя принцип
неопределенности Гейзенберга,
получаем, что невозможно вычислить все
шесть переменных одновременно с любой
точностью.
Поэтому есть ограничение на то, что мы
можем узнать или подсчитать о практическом
моменте импульса. Это значит, что лучшее,
что мы можем сделать — это подсчитать
одновременно величину вектора момента
импульса и его компоненты по осям.
Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:
где
и
—
координатный и импульсный оператор,
соответственно, а второй — на
внутренние, спиновые. В частности, для
одной частицы без электрического
заряда и без спина,
оператор углового момента может быть
записан как:
где
—
оператор
набла. Это часто встречающаяся форма
оператора момента импульса, но не самая
главная, она имеет следующие свойства:
,
где
—
Символ_Леви-Чивиты;
и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина:
Симметрия вращения
Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:
Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:
где
— сферические функции.
Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике
Если
имеется материальная точка массой
,
двигающаяся со скоростью
и
находящаяся в точке, описываемой
радиус-вектором
,
то момент импульса вычисляется по
формуле:
где
—
знак векторного
произведения.
Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:
Можно
переписать это через плотность
:
(Если
считать, что
—
обобщенная
функция, включающая, возможно, и
дельтообразные
члены, то последняя формула применима
и к распределенным, и к дискретным
системам).
Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, более общо — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение
где
—
момент
инерции относительно оси вращения,
—
вектор угловой
скорости.
В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):
За начало отсчета при вычислении моментов инерции или тензора инерции в принципе может быть взята любая ось или точка, при этом будут получены разные величины, связанные друг с другом через теорему Штейнера. Однако практически по умолчанию обычно выбирается центр масс или закрепленная ось (центр), что является чаще всего и более удобным.