§3. Логико-дидактический анализ содержания темы
Анализ теоретического материала
В учебнике Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. - М.: Просвещение, 2003. тема «Функция y=cos x, ее свойства и график» представлена в последней главе после темы «Функция y=sin x, ее свойства и график».
Основными дидактическими единицами темы «Функция y=cos x, ее свойства и график»:
- определения: периодическая функция
-тригонометрические неравенства
-функции арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
-свойства функций (их области определения, множества значений, четность/нечетность функций, промежутки монотонности, ограниченность, наибольшие и наименьшие значения, непрерывность и их периодичность) : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x
- графики: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Так как начало тригонометрии, а именно тригонометрические уравнения и неравенства, изучалось в 9 классе, то в 10 вводится понятие тригонометрической функции. Способом получения новых знания может быть самостоятельное «открытие» учениками: нахождение области определения и множества значений функций y= sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x; проведение доказательства четности/нечетности функции; с помощью учителя воспроизведение свойств функции y = cosx аналогичных свойствам функции y = sinx.
Автор сначала в первом параграфе главы вводит периодичность тригонометрических функций, в нем автор вводит определение периодичной функции. Затем вводит функцию y = sin x, отмечает ее свойства и график. Потом вводится функция y =cos x на основе уже известной функции y = sinx, отмечаются ее свойства, и строится график.
Отдельны параграф отводиться тригонометрическим неравенствам, при решении которых используются свойства тригонометрических функций, которые были пройдены, и их графики.
После этого, необходимо отметить, что в учебнике Ш.А.Алимов в теме тригонометрические функции уделяется внимание обратным тригонометрическим функциям: y = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x, что нет у А.Г.Мордковича, их свойствам и графикам. На них и заканчивается изучение данной главы.
Основные цели – ввести: понятие тригонометрической функции, так как в учебнике не дается четкой формулировки понятия, но вместо определения дается словесное описание; понятие области определения и множества значений тригонометрический функций; свойств тригонометрических функций.
Анализ задачного материала
При изучение темы «Функция y=cos x, ее свойства и график» можно выделить следующие группы задач:
Работа с возрастанием и убыванием функции: №959, №960, №961
Ключевая задача №959.
Решение:
1)[3
;4
]-возрастает,
2)[-2
;-
]-убывает,
3)[2
;
]-убывает,
4)[
;
]-возрастает,
5)[1;3]-убывает, 6)[-2;-1]-возрастает.
Выяснить при каких значениях х, принадлежащих отрезку, функция принимает значения: №958(она же и ключевая)
Решение:
1)при
;
1 при 0,2
;
-1 при
2)положительные
значения при
3)отрицательные
значения при
Найти все решения неравенства, принадлежащие интервалу: №962, №966
Ключевая задача: №962
Приведу
решение одного примера: 1)cosx
График
функции y
=cos
x
лежит не ниже графика у=
при
.
Значит решением неравенства будет
.
Найти область определения функции: №963, №969-970
Ключевая задача: №963
Найти множество значений функции: №964, №968, №971
Ключевая задача: №968
Решение:
1)Так
как cos
x
убывает
,
то
,
т.е. -1
Построить график: №967, №972
Ключевая задача: №967
Решение:
1)у=1+cosx
-область
определения:
-множество
значений:
-периодическая с периодом 2
-четная
-принимает
наименьшее значение, равное 0, при
,
принимает наибольшее значение, равное
2, при
,
не отрицательная.
-возрастает
при
убывает
при
по этим свойствам строим график.
Выражая синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа: №965(она же и ключевая).
Решение:
Так
как
убывает на
и
,
то
,
т.е.
