1. Расчет и исследование нч-фильтров.

ФНЧ1

1. коэффициенты фильтра рассчитываются по формулам :

Таким образом, коэффициент a_k (k=0,...,N) зависит от отношения частоты среза к частоте дискретизации. Поэтому при расчетах удобно использовать относительную частоту среза:

; .

2. Рассчитаем коэффициенты фильтра в соответствии с вариантом задания:

, ;

, .

3. уравнение фильтра:

4. аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :

С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 1 – расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 2 – амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 3 – импульсная характеристика фильтра

Рисунок 4 – структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 1 - Коэффициенты фильтра

Коэффициенты фильтра	Расчётные	Вычисленные
а0	0.166	0.166
а1	0.159	0.159
а2	0.137	0.137
а3	0.106	0.106
а4	0.069	0.068
а5	0.032	0.0318
а6	0.00019	0

ФНЧ2:

1. коэффициенты фильтра :

а₀=0,24, а₁=0,224, а₂=0,158, а₃=0,075, а₄=0, а₅=-0,045, а₆=-0,052

2. уравнение фильтра:

Аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :

С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 5 – расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 6 – амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 7 – импульсная характеристика фильтра

Рисунок 8 – структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 2 - Коэффициенты фильтра

Коэффициенты фильтра	Расчётные	Вычисленные в Matlab
а0	0,24	0,24
а1	0,224	0,224
а2	0,158	0,158
а3	0,075	0,075
а4	0	0
а5	-0,043	-0,043
а6	-0,052	-0,052

По результатам расчета ФНЧ₁ и ФНЧ₂ рассчитать (без компьютера) коэффициенты полосового фильтра с частотами среза f _c1 и f_c2 (f _c1 < f_c2).

За основу берется ФНЧ с частотой среза _в, которая соответствует верхней частоте среза искомого ПФ. Из спектра этого ФНЧ вычитается спектр другого ФНЧ с меньшей (нижней) частотой среза _н. В результате останется спектр полосового фильтра с зоной прозрачности (пропускания) между _н и _в. Искомые коэффициенты ПФ рассчитываются по формуле:

а_к,ПФ = а_{к,ФНЧ(в)} - а_{к,ФНЧ(н)}

С помощью программы Matlab произвести расчет коэффициентов этого же полосового цифрового фильтра и построить графики его импульсной и частотной характеристик. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты полосового фильтра

Рисунок 9 – расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 10 – амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 11 – импульсная характеристика фильтра

Рисунок 12 – структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 3 - Коэффициенты фильтра

Коэффициенты фильтра	расчётные	Вычисленные в Matlab
а0	0,82	0,82
а1	0,066	0,066
а2	0,02	0,02
а3	-0,03	-0,03
а4	-0,068	-0,068
а5	-0,075	-0,075
а6	-0,053	-0,053

Синтезировать входной сигнал в виде аддитивной смеси гармонического сигнала с шумом. Частота гармонического сигнала , амплитуда A=1, длительность . Шум – с нормальным распределением, нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением. Произвести фильтрацию смеси сигнала с шумом, рассчитанным полосовым фильтром. Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 13 – Simulink-модель фильтрации смеси сигнала с шумом

Рисунок 14 – отфильтрованный сигнал

Сгенерировать и профильтровать (рассчитанным полосовым фильтром) сигнал в виде последовательности знакоположительных прямоугольных импульсов амплитудой A=1, длительностью , следующих с частотой . Относительная длительность импульсов . Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 15 – Simulink-модель фильтрации сигнала с шумом

Рисунок 16 – отфильтрованный сигнал

Ответы на контрольные вопросы

1. Нерекурсивный цифровой фильтра - это фильтр, который не имеет обратной связи.

2. Отличительной особенностью НЦФ является зависимость выходного сигнала y(n) только от входных сигналов в настоящий момент времени x(n) и предыдущие моменты x(n-k).

3. Его характеризует число задержек.

4. Тем, что выходной сигнал в момент времени n можно вычислить только тогда, когда станут известными “будущие” входные отсчеты. Это означает необходимость задержки выходного сигнала фильтра относительно входного.

5. Последовательность отсчетов, соответствующих весовым коэффициентам фильтра a_k , конечна, поэтому НЦФ имеет конечный импульсный отклик и называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром или FIR (finite impulse response filtre) фильтром).

6. Относительная частота среза - это отношение верхней частоты (частоты среза) спектра аналогового сигнала к частота дискретизации сигнала, выраженное в радианах.

7.Всечастотный фильтр (ВФ) – это фильтр, который пропускает без ослабления все частоты.

Вывод

В результате проведения работы были синтезированы и рассчитаны рекурсивные и нерекурсивные фильтры низких частот. В результате работы, рассчитанные вручную коэффициенты совпадают с полученными с помощью компьютера. Дискретное преобразование Фурье, используемое во всех непараметрических методах спектрального оценивания, подразумевает периодическое продолжение анализируемого фрагмента сигнала. При этом на стыках фрагментов могут возникать скачки, приводящие к появлению боковых лепестков значительного уровня в спектральной области. Для ослабления этого эффекта сигнал перед выполнением ДПФ умножают на спадающую от центра к краям весовую функцию (окно). В результате величина скачков на стыках сегментов уменьшается, меньше становится и уровень нежелательных боковых лепестков спектра — платой за это является некоторое расширение спектральных пиков. Помимо спектрального анализа весовые функции применяются при синтезе нерекурсивных фильтров путем обратного преобразования Фурье желаемой частотной характеристики. В этом случае они позволяют увеличить подавление сигнала в полосе задерживания фильтра за счет некоторого расширения полосы пропускания.