62. Линейная комбинация векторов. Базис линейного векторного пространства.

Линейной комбинацией векторов называют вектор где - действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной (обычной), если - нетривиальной (необычной).

Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор.

Базис - любая упорядоченная система из n-линейно независимых векторов пространства V_n.Обозначение:

63. Определение матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.

1) Матрица - прямоугольная таблица А, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

2) Сложение матриц А и В называется матрица С, которая получается из суммы соответствующих элементов матриц А и В.

3) Произведением матрицы А на число l называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на l.

Произведением прямоугольной матрицы А размеров m*k на матрицу В размеров k*n называется прямоугольная матрица С размеров m*n, каждый элемент которой вычисляется по формуле: т.е. элемент произведения, расположенный в i-й строке, в j-м столбце равен сумме произведений элементов i-й строки первого сомножителя на соответственные элементы j-го столбца второго сомножителя.

Обозначаем С = АВ. Произведение матриц определено, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.

64. Квадратные матрицы. Определитель квадратной матрицы. Способы вычисления определителей.

1) Квадратной матрицей называется прямоугольная таблица, в которой число строк и столбцов одинаково.

2) Единичной матрицей называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1.

3) Матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных равны нулю.

4) Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а_ij.

5) Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: (Из произведения чисел гл. диагонали вычесть произведение чисел побочной диагонали)

6) Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: - правило Саррюса

- правило треугольника.

65. Система линейных уравнений. Свойства решений. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так: .

1) Если является решением системы, то также является решением.

2) Если является решением системы также является решением той же самой системы, то и также является решением системы.

3) Если и два различных решения системы, то их линейная комбинация, равная также является решением системы.

Теорема Кронекера-Капелли: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA=RgA* (Ранг матрицы – это максимальный порядок отличного от нуля минора [из кол-ва строк вычесть нулевые])