1. Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.

Числовая последоватеьность-бесконечный упорядоченный набор действительных чисел.

Способы задания: 1.задание с помощью формулы общего члена, т. е. формулы, явно выражающей зависимость n-ого члена последовательности от n. (an = 2n).

2.рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-ый член последовательности с одним или несколькими предыдущими. (an = an – 1 + 2 вместе с условием a1 = 1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2).

3.словестное описание (последовательность задана четными числами)

2. Предел последовательности. Сходимость.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |xn – a| < ε,

т. е. При этом пишут, что или при n → ∞.

Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

3. Свойства сходящихся последовательностей

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию xn ≥ C (xn ≤ C). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

Любая неубывающая ограниченная сверху последовательность сходится.

Любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится.

Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если

1) Если последовательность сходится, то ее предел единственный.

2) Если последовательность сходится, то она ограничена.

3) Если последовательность сходится к числу , то вся последовательность лежит вне окрестности нуля , начиная с некоторого номера.

4) Если для всех n и

4. Признаки сходимости последовательностей.

1. Признак сходимости Даламбера

2. Радикальный признак сходимости Коши

3. Интегральный признак сходимости Коши

1) Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

2) Если существует предел: , то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

3)От последовательности надо взять несобственный интеграл, и если интеграл будет сходится/расходится, следовательно и последовательность будет сходиться/расходиться.

5. Определение функции. Способы задания функций.

Функция - зависимость переменной у от переменной x. (правило, по которому любому числу Х ставится в соответствие число У)

Способы: 1) Табличный способ - заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. 2) Графический способ - графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. 3) Аналитический способ - чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. 4) Аналитический способ - закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. 5) Словесный способ - функциональная зависимость выражается словами.