Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Кафедра ВМиК

Лабораторная работа №2

Аффинные преобразования и аксонометрическое изображение точки.

Выполнил: Сахибгареев К., МО-316а

Проверил: Профессор кафедры ВМиК Верхотуров М.А.

Уфа, 2007г.

Содержание

1. Постановка задачи.

2. Структура решения.

3. Обзор и анализ методов решения задачи.

4. Описание применяемых методов.

5. Руководство программиста.

6. Руководство пользователя.

7. Результаты.

1. Постановка задачи.

Формальная постановка задачи.

Написать программу, демонстрирующую два различных вида проекций: центральную и оргтогональную аксонометрическую, а также комплексный чертёж. На проекциях должны быть проекции системы координат, линий связи, точки и её трёх проекций. Должна быть возможность перемещать проецируемую точку и точку , задающую вектор нормали плоскости проецирования, а также в случае центрального проецирования являющуюся центром проецирования. Во время изменения координат точек должна быть возможность следить за изменением всех элементов на обоих чертежах. Программа предназначена для обучающих целей.

Содержание экрана:

• Аксонометрический чертеж точки T (система координат, проекции, линии связи) с учетом расположения центра проецирования в точке C(x,y,z);

• Комплексный чертеж точки T (только первый октант) с изображением проекций Т₁, T₂, T₃ и линий связи;

• Ползунковые переключатели (3 шт.) для интерактивного изменения координат (x,y,z) точек T, С (с возможностью выбора одной из них для которой, в текущий момент времени, будет осуществляться изменение координат);

• Переключатель w=0; w=1 для смены ортогонального проецирования на центральное.

Динамика:

• При изменении координат точек Т и С должны изменяться соответствующие чертежи.

1. Структура решения.

1. Вычисление экранных координат точки и ее проекций.

   1. Вычисление координат проекций точки на комплексном чертеже.

   2. Вычисление координат точек при аксонометрическом проецировании.

   3. Вычисление координат точек при перспективном проецировании.

2. Прорисовка чертежей.

   1. Прорисовка комплексного чертежа.

   2. Прорисовка чертежа при аксонометрическом проецировании.

   3. Прорисовка чертежа при перспективном проецировании.

Что касается прорисовки чертежей (2), то эти вопросы были решены в лабораторной работе №1, так же как и рисование комплексного чертежа (1.1.), единственное различие будет в том что кроме точки Т там появится точка С, которая будет отображать положение камеры.

3. Обзор и анализ методов решения задачи.

Аффинные преобразования.

Отображение пространства в себя называется аффинным преобразованием, если найдутся такие две аффинные системы координат, что координаты любой точки в одной из них являются координатами ее образа в другой.

Переход из одной прямолинейной координатной системы в трёхмерном пространстве к другой описывается в общем случае следующим образом:

,

Где x’, y’, z’ – новые координаты, а x, y, z – старые.

Или в матричном виде:

; - матрица преобразования координат.

Рассмотрим матрицы, соответствующие следующим базовым геометрическим преобразованиям:

• Повороты.

Вокруг оси Ox на угол φ.

Вокруг оси Oy на угол ψ.

Вокруг оси Oz на угол χ.

• Растяжение.

Растяжение

Если α, β, γ > 1 то растяжение, 0 < α, β, γ < 1 сжатие.

• Отражение (зеркалирование).

Относительно плоскости XOY.

Относительно плоскости XOZ.

Относительно плоскости ZOY.

• Сдвиг.

Сдвиг на вектор (λ, μ, ν).

Преобразование точки (с сохранением расположения исходной системы координат) соответствует выполнению обратной операции по отношению к преобразованию системы координат. Например, поворот точки на некоторый угол по часовой стрелке вокруг оси X соответствует повороту системы координат против часовой стрелки на тот же угол.

Некоторые свойства аффинных преобразований:

• Под действием аффинного преобразования прямая переходит в прямую, а плоскость в плоскость. При этом сохраняется параллельность.

• Множество всех аффинных преобразований плоскости (пространства) есть подгруппа группы всех преобразований плоскости (пространства).

• АП плоскости (пространства) сохраняет отношение площадей параллелограммов (отношение объемов параллелепипедов).

• Любое сложное аффинное преобразование может быть представлено, как последовательность элементарных.