1.2 Расчет токов во всех ветвях схемы методом контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе до (n ─ 1).

Для составления уравнений выделяем в схеме три независимых контура: 1, 2, 3. Для каждого указанного контура произвольно зададимся расчетной величиной – контурным током Iк1, Iк2, Iк3 и его направлением (рисунок 3). На этом же рисунке произвольно укажем направление тока в каждой ветви.

Рисунок 3 – Схема электрической цепи к расчету методом контурных токов

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, в левой части равенства будем записывать алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в выделенный контур, а в правой части равенства будем алгебраически суммировать напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывать падение напряжений на сопротивлениях смежной ветви, создаваемых контурным током соседнего контура.

С учетом выше изложенного, система уравнений будет иметь следующий вид:

Е₁ + E₂ = I_К1 (R₁ + R₂ + R₄) ─ I_К2 R₂ ─ I_К3 R₄,

─ Е₂ ─Е₃ = ─ I_К1 R₂ + I_К2 (R₂+R₃+R₅) ─ I_К3 R₅,

0 = ─ I_К1 R₄ ─ I_К2 R₅ + I_К3 (R₄+R₅+ R₆)

Подставляем в полученные уравнения числовые значения ЭДС и сопротивлений. Полученную систему уравнений решим с помощью определителей.

65 = 189 I_К1 ─ 84 I_К2 ─ 23 I_К3,

─124 = ─ 84 I_К1 + 93 I_К2 ─ 5 I_К3,

0 = ─ 23 I_К1 ─ 5 I_К2 + 116 I_К3

Сначала вычисляем главный определитель системы Δ, затем частные определители Δ1, Δ2, Δ3.

_=1147194,

_=-522921,

_=-2012145,

_=-190413

Затем вычисляем контурные токи:

А,

А,

А

Далее определяем токи в ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆, используя полученные расчетные значения контурных токов: Iк1, Iк2 и Iк3. При этом если ветвь контура не входит в другие контуры, то действительный ток в ней равен расчетному контурному току. В ветвях, принадлежащих двум смежным контурам, действительный ток определяется как алгебраическая сумма контурных токов смежных контуров с учетом их направления.

I₁ = I_К1 = ─ 0,456 А,

I₂ = I_К2 ─ I_К1= ─ 1,75 ─ (─0,456) = ─ 1,298 А,

I₃ = ─ I_К2 = ─ 1,75 А,

I₄ = I_К1 ─ I_К3 = ─ 0,456 ─ (─ 0,17) = ─ 0,29 А,

I₅ = I_К2 ─ I_К3 = ─ 1,754 ─ (─ 0,17) = ─ 1,6 А,

I₆ = ─ I_К3 = ─ 0,17 А

1.3 Расчет токов во всех ветвях схемы методом наложения

По методу наложения ток в любой ветви рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

1.3.1 Определим частные токи во всех ветвях, приравняв нулю ЭДС Е₁=0 и Е₂=0 (рисунок 4).

Рисунок 4 – Схема электрической цепи к расчету методом наложения

при ЭДС Е₁ = 0 и Е₂ = 0

Тогда система уравнений, составленных на основании первого и второго законов Кирхгофа, будет иметь вид:

0 = ─ I₁ ─ I₂ ─ I₃,

0 = I₁ ─ I₄ + I₆,

0 = I₃ + I₅ ─ I₆,

0 = I₁ R₁ ─ I₂ R₂ + I₄ R₄,

─ E₃= I₂ R₂ ─ I₃ R₃ + I₅ R₅,

0 = ─ I₄ R₄ ─ I₅ R₅ ─ I₆ R₆

Подставляем в полученные уравнения числовые значения ЭДС и сопротивлений.

0 = ─ I₁ ─ I₂ ─ I₃,

0 = I₁ ─ I₄ + I₆,

0 = I₃ + I₅ ─ I₆,

0 = I₁ 78 ─ I₂ 84 + I₄ 23,

─ 92 = I₂ 84 ─ I₃ 4 + I₅ 5,

0 = ─ I₄ 23 ─ I₅ 5 ─ I₆ 88

Полученную систему уравнений решаем с использованием определителей.

_=-1104142,

_=907028,

_=1018624,

_=-1925652,

_=644184,

_=1662808,

_=-262844

Затем вычисляем частные токи в ветвях:

А,

А,

А,

А,

А,

А

1.3.2 Определим частные токи во всех ветвях, при ЭДС Е₂ = 0 и Е₃ = 0 В (рисунок 5).

Рисунок 5 – Схема электрической цепи к расчету методом наложения при ЭДС Е₂ = 0 Е₃ = 0

Тогда система уравнений, составленных на основании первого и второго законов Кирхгофа, будет иметь вид:

0 = ─ I₁ ─ I₂ ─ I₃,

0 = I₁ ─ I₄ + I₆,

0 = I₃ + I₅ ─ I₆,

Е₁ = I₁ R₁ ─ I₂ R₂ + I₄ R₄,

0 = I₂ R₂ ─ I₃ R₃ + I₅ R₅,

0 = ─ I₄ R₄ ─ I₅ R₅ ─ I₆ R₆

Подставляем в полученные уравнения числовые значения ЭДС и сопротивлений.

0 = ─ I₁ ─ I₂ ─ I₃,

0 = I₁ ─ I₄ + I₆,

0 = I₃ + I₅ ─ I₆,

33 = I₁ 78 ─ I₂ 84 + I₄ 23,

0 = I₂ 84 ─ I₃ 4 + I₅ 5,

0 = ─ I₄ 23 ─ I₅ 5 ─ I₆ 88

Полученную систему уравнений решаем с использованием определителей.

_=-1104142,

_=-355179,

_=29832,

_=325347,

_=-270732,

_=-240900,

₌₈₄₄₄₇

Затем вычисляем частные токи в ветвях:

А,

А,

А,

А,

А,

А

1.3.3 Определим частные токи во всех ветвях, при ЭДС Е₁=0 и Е₃=0 В (рисунок 6).

Рисунок 6 – Схема электрической цепи к расчету методом наложения при ЭДС Е₁ = 0 и Е₃ = 0

Тогда система уравнений, составленных на основании первого и второго законов Кирхгофа, будет иметь вид:

0 = ─ I₁ ─ I₂ ─ I₃,

0 = I₁ ─ I₄ + I₆,

0 = I₃ + I₅ ─ I₆,

E₂= I₁ R₁ ─ I₂ R₂ + I₄ R_4,

─ E₂ = I₂ R₂ ─ I₃ R₃ + I₅ R₅,

0 = ─ I₄ R₄ ─ I₅ R₅ ─ I₆ R₆

Подставляем в полученные уравнения числовые значения ЭДС и сопротивлений.

0 = ─ I₁ ─ I₂ ─ I₃,

0 = I₁ ─ I₄ + I₆,

0 = I₃ + I₅ ─ I₆,

32 = I₁ 78 ─ I₂ 84 + I₄ 23,

─ 32 = I₂ 84 ─ I₃ 4 + I₅ 5,

0 = ─ I₄ 23 ─ I₅ 5 ─ I₆ 88

Полученную систему уравнений решаем с использованием определителей.

_{= -1104142,}

_=-28928,

_=383232,

_=-354304,

_=-38464,

_=-323712,

_=-9536

Затем вычисляем частные токи в ветвях:

A,

A,

A,

A,

A,

A

Определяем токи ветвей исходной цепи выполняя алгебраическое сложение частных токов с учетом их знаков.

I₁ = I'₁+I"₁ + I"'1 = (─ 0,8215) + 0,3217 + 0,0262 = ─ 0,474 А,

I₂ = I'₂+I"₂ + I"'2 = (─ 0,9225) + (─ 0,027) + (─ 0,3471) = ─ 1,297 А,

I₃ = I'₃+I"₃ + I"'3 = 1,744 + (─ 0,2947) + 0,3209 = 1,77 А,

I₄ = I'₄+I"₄ + I"'4 = ─ 0,5834 + 0,2452 + 0,0348 = ─ 0,30 А,

I₅ = I'₅+I"₅ + I"'5 = (─ 1,506) + 0,2182 + (─ 0,2306) = ─ 1,58 А,

I₆ = I'₆+I"₆ + I"'6 = 0,2381 + (─ 0,0765) + 0,0086 = 0,17 А