37. Выпуклые множества и их свойства. Выпуклая оболочка множества

Выпуклое программирование-это раздел мат-ки, где исслед задачи оптимизации ВФ-ии на выпуклом пр-ве Rn.

Матем модель: , x X (1), где f(x)-выпуклая функция, Х Rn, х – выпуклое мн-во

Основная задача ВП имеет след формулировку:

, т е остаётся прежним, а х конкретизируется x X={ x Q; g(x)≤c} , Q Rn, Q –выпуклое мн-во, g(x) н-мерная ф-ия, компоненты которой явл-ся выпуклыми ф-ми(ВФ)

Def: мн-во Х Rn н-мерного Евклидового пр-ва наз-ся выпуклым пр-ом(множеством), если для любых 2-х точек мн-ва Х мн-ву Х принадлежат все точки отрезка, соединяющего эти точки: Х Rn , .

Пример ВМ: пр-во -мн-во (.) прямой. Пр-во -круг, квадрат, прямоугольник. Пр-во - многогранники, эллипсоид, сфера, не ВМ- однополосный гиперболоид.

Свойства ВМ: 1) Пересечение любого числа ВМ, есть ВМ

Def: Пусть даны (.) , - наз-ся выпуклая комбинация (.)

2 ) Если мн-во Х выпуклое, то для любых точек , то их выпуклая комбинация, то же

3) Пусть и ВМ, причем одно из них ограничено, если ,то мн-ва Х и У строго отделимы, т е всегда м/о провести прямую, которая разделит плоскость на 2 полуплоскости, в одной – Х, а в другой – У , т е будет вып-ся , разделяющая гепер плоскость.

4) Если мн-во Х и У – выпуклые и пересекающиеся, то они отделимы

5) Если (.) – граничная точка выпуклого мн-ва Х, то в этой точке существует опорная гиперплоскость мн-ва Х.

Def. Выпуклой оболочкой связного мн-ва Х наз-ся мн-во точек вида: {x: x= } =com X

Если мн-во не связанное, то опеределение не действительно.

М н-во com X совпадает с пересечением всех выпуклых мн-в, которые содержат данное мн-во Х.

38. Выпуклые функции и их свойства. Выпуклая оболочка функции

Выпуклое программирование-это раздел мат-ки, где исслед задачи оптимизации ВФ-ии на выпуклом пр-ве Rn.

Матем модель: f(x)-> min, x X (1), где f(x)-выпуклая функция, Х Rn, х – выпуклое мн-во

Основная задача ВП имеет след формулировку:

f(x)-> min, т е остаётся прежним, а х конкретизируется x X={ x Q; g(x)≤c} , Q Rn, Q –выпуклое мн-во, g(x) н-мерная ф-ия, компоненты которой явл-ся выпуклыми ф-ями(ВФ)

Def: функция f(x) определённая на ВМ Х наз-ся выпуклой, если , .

Пример: 1)f(x) определённа на ВМ Х , т е это будет ф-ия одной переменной (рис слева)

2) f(x) определённа на ВМ Х , т е это будет ф-ия 2-х переменных (рис справа)

Теорема1: для выпуклости ф-ии f(x) на мн-ве Х необход и достат, чтобы её надграфик был ВМ . (рис слева)

Теорема2: ф-ия f(x), х Rn, выпуклая т т т , когда выпуклой ф-ией явл-ся ф-ия

Теорема3: Если ф-ия f(x) -гладкая, то f(x) Rnвыпукло т т т , когда выполняется неравенство: f(x)-f( )

Теорема4: Если ф-ия f(x), х Rn, дважды дифференц (f(x) ), то она выпуклая т т т , когда матрица вторых производных не отрицательна.

= - это означает, что матрица симметрична

Свойства ВФ: Мн-во уровня f(x)-со знач с – это мн-во {x: f(x) c}

1. Мн-во ур-ий выпуклой ф-ии или выпукло или пусто

2. Пусть выпуклые ф-ии на мн-ве Тогда ф-ия g(x)= также явл-ся выпуклой, и h(x)= также выпуклая

3. Ф-ия выпуклая на яв-ся непрерывной в каждой точке.

4. В каждой точке выпуклая f(x) имеет производную по любому направлению

f(x), х Rn, l-направление

Если f(x)=|x|, то обычной производной не существует, а по направлению сущ, и равна |l|.

Функция f(x) наз-ся вогнутой, если - f(x) выпукло.

Теорема о min max:

f(x,y )= f(x, y)

def: Выпуклой оболочкой f(x) наз-ся ф-ия, значение которой в каждом х определяется равенством: