31.32. Сетевая тз: улучшение базисного потока(итерация).

Пусть на сети S задан базисный поток x, которому соотв-ет дерево S_Б. 1) вычисляем потенциалы вершин по: . Обычно один потенциал надо положить 0; 2) вычисляем оценки небазисных дуг по: ; 3) проверяем выполнение условий . Если они вып-ся, то текущий поток оптимальный, иначе переходим к след. шагу; 4) фиксируем дугу (i₀,j₀), для которой . Выбор дуги может быть произвольным, если таких дуг несколько. При ручном счете обычно выбирают дугу с минимальным значением; 5) строим цикл по дугам (i₀,j₀) и дугам и выбираем направление по дуге (i₀,j₀); 6) если все дуги в цикле прямые, то решение задачи остается по причине неограниченности снизу целевой ф-ии; 7) в противном случае определяем (i₀,j₀) – циркуляцию со значением , где нах-ся по след-щим правилам: на каждой обратной дуге мы находим величину, на которой можно изменить поток, т.е. ; 8) фиксируем дугу (i_*,j_*), на которой достигается минимум , т.е. ; 9) вычислим дуговой поток ; 10) формируем новое базисное мн-во дуг: из U_Б удаляем дугу (i_*,j_*). Опр: переход от x к наз-ют итерацией м. потенциалов. М. потенциалов конечен (за конечное число итераций получится оптимальный базисный поток), если все его базисные потоки невырождены.

33. Построение начального базисного потока.

Построение начального потока как и в С-М наз-ся первой фазой м.потенциалов. при небольших размерах, м.потенциалов можно построить методом проб. В общем случае решают з-чей 1-ой фазы на расширенной сети. Пусть x^* - оптимальный поток, полученный на 1-ой фазе м.потенциалов, U_i^*. Возможны случаи:

1) имеются ненулевые дуговые потоки по искусств-ым дугам. , (i,j) – искусств-ая дуга. Исходная з-ча не имеет решений;

2) , (i,j) – искусств-ые дуги, ,U_Б^*содержит ровно 1 искусств-ую дугу. Из сети убираем все искусств-ые дуги;

3) , (i,j) – искусств-ые дуги. Среди U_Б^* есть исусств-ые дуги. U_Б^* содержит более одной искусств-ой дуги, тогда всегда сущ-ет (i_*,j_*), которая замыкает цикл с 2 искусств-ыми дугами. Одна из этих искусств-ых дуг в базисном мн-ве заменяем (i_*,j_*). Через конечное число шагов придем к ситуации, когда остается одна искусств-ая дуга.

34. Матричная тз: постановка з-чи, теорема сущ-ния, транспортная таблица.

Имеется A_i,i=1..n с объемом производства a_i, i=1..n, a_i>0. Имеется m пунктов потребления B_{j ,,}j=1..m с объемом потребления b_{j, ,}j=1..m, b_j>0. Суш-ет коммуникация из каждого n производства в каждый пункт потребления. (A_i,B_j). c_ij – стоимость перевозки единицы продукта. (4)- кол-во продуктов, перевозимого по коммуникации (A_i,B_j). - план перевозок. Нужно найти такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозки min. - целевая ф-ия.

Весь продукт из каждого n пр-ва дб вывезен.

Запросы каждого n потребителя должны быть удовлетворены

Теорема1: для того, чтобы з-ча имела решение необх-о и дост-но, чтобы выполнялось условие баланса: .

Опр: посл-сть клеток (i₁,j₁), (i₁,j₂), (i₂,j₂), (i₂j₃),…, (i_kj_k) наз-ся простой цепью, которая соед-ет клетку (i₁j₁) с (i_kj_k). Опр: если в простой цепи последняя клетка (i_kj_k) нах-ся в том же столбце, что и (i₁j₁), то мы имеем цикл. Опр: пусть в таблице выделено некоторое подмн-во клеток. Это подмн-во наз-ся связным, если любые две клетки подмн-ва можно соединить цепью из клеток этого подмн-ва. Опр: аналогом дерева сети на транспортной таблице явл-ся связное подмн-во клеток, число элементов которых равно n+m=1. Опр: базисным планом наз-ся план, в котором x_ij=0, (i,j)%U\U_Б=U_Н.