12. Введем новые переменные и преобразуем основную формулу для вариации функционала (2.11):
,
(2.21)
.
(2.22)
Тогда
.
(2.23)
Система уравнений Эйлера
(2.24)
заменяется системой уравнений первого порядка канонического вида:
,
.
(2.25)
Функция
называется функцией Гамильтона, а
переменные
- сопряженными переменными. Дифференциальные
уравнения для сопряженных переменных
(2.25) называются сопряженной системой
уравнений.
Если функция не зависит явно от , то функция является первым интегралом уравнений Эйлера. Действительно,
.
(2.26)
Используя
каноническую форму уравнений Эйлера,
получим при
,
(2.27)
откуда
следует, что
.
Рассмотрим
некоторую функцию
.
.
(2.28)
Выражение
называется скобкой Пуассона. Таким
образом, чтобы функция
,
не зависящая явно от
,
была первым интегралом уравнений Эйлера
(
),
необходимо и достаточно, чтобы
.
13. Рассмотрим центральное поле экстремалей с центром в точке для функционала
,
.
На
экстремалях поля функционал
превращается в функцию
координат второй граничной точки
.
Воспользуемся выражением для вариации
функционала (2.11)
.
(2.29)
С
другой стороны
.
Для
точки
:
,
,
тогда
,
.
(2.30)
Следовательно,
.
(2.31)
Это уравнение (2.32) называется уравнением Гамильтона-Якоби.
В
этом случае решение канонической системы
равносильно решению дифференциального
уравнения в частных производных
относительно неизвестной функции
(2.32)
с
граничным условием
.
14. Для нахождения необходимого условия слабого минимума функционала введем понятие второй вариации функционала. Функционал имеет вторую вариацию, если его приращение можно представить в виде
,
(2.33)
где
- линейный относительно вариации функции
функционал (первая вариация функционала);
- квадратичный относительно
функционал вторая
вариация функционала;
- содержит члены высших порядков малости
(
при
),
Пусть
.
Теорема 2.5. Для того чтобы функционал достигал своего минимума на кривой , необходимо чтобы выполнялись условия
,
.
(2.34)
Доказательство.
Пусть имеется кривая
,
которая неограниченно приближается к
экстремали
.
Это означает, что
,
т.е. кривые сближаются. Тогда
,
,
следовательно, знак
определяется знаком
.
Это означает, что неотрицательность
второй вариации обеспечивает слабый
минимум функционала.
Получим формулу для второй вариации функционала в задаче с закрепленными концами. Зададим функционал
с
граничными условиями
.
В этом случае первая и вторая вариации
функционала определяются формулами
,
.
(2.35)
Интегрируя по частям среднее слагаемое в подынтегральном выражении формулы (2.35), получим
.
Тогда,
с учетом
,
,
получим
.
(2.36)
Получим
условие, при котором
.
Введем произвольную непрерывную и
дифференцируемую функцию
такую, что, будучи введенной в интегральное
выражение (2.36), она с точностью до
множителя преобразует его в точный
квадрат. Показано [2], что если
дифференциальное уравнение
(2.37)
имеет на отрезке
дифференцируемое решение
,
то