2. Определение. Переменная величина называется функционалом от функции , если каждой функции из некоторого множества функций соответствует определенное значение .

Считается, что функционал задан, если каждой функции поставлено в соответствие некоторое число: .

Рис.2.1. Длина дуги кривой – функционал от функции

Например, функционалом является длина дуги плоской кривой, соединяющей две точки и (рис. 2.1).

Величина может быть вычислена, если задано уравнение кривой :

.

Запишем общее выражение для функционала в следующем виде:

, (2.1)

где - одна из возможных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке .

Существует связь задачи вариационного исчисления с задачей отыскания экстремума функции многих переменных: если разбить отрезок на частей и рассмотреть ломаную линию вместо кривой , а функционал заменить суммой

,

где , то вариационная задача трансформируется в задачу о нахождении экстремума функции переменных и может быть решена классическими методами. Такой подход впервые был предложен Л. Эйлером.

Определение. Пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.

Функциональные пространства выбираются в соответствии с характером вариационной задачи. Например, при рассмотрении функционалов вида

функция должна иметь непрерывную первую производную; при рассмотрении функционалов вида

функция должна иметь непрерывные первую и вторую производные и т.д.

Назовем линейным пространством совокупность элементов , для которых определены операции сложения и умножения на число и выполняются следующие аксиомы:

1. коммутативности сложения ,

2. ассоциативности сложения ,

3. существования нулевого элемента ,

4. существования противоположного элемента : ,

5. существования единичного элемента ,

6. ассоциативности умножения , где и ‑ числа,

7. дистрибутивности по сложению ,

8. дистрибутивности по умножению .

Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число (норма этого элемента) такое, что выполняются свойства:

1. положительной определенности , причем только при ,

2. однородности ,

3. неравенства треугольника .

Введем понятие близости элементов, используя понятие нормы их разности, которое аналогично понятию расстояния между точками в евклидовом пространстве.

Рассмотрим пространство , состоящее из непрерывных функций, определенных на отрезке . Норму функции определим как . Расстояние между точками , пространства будет . Функции и близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности не превышает некоторой наперед заданной малой положительной величины : . Такая окрестность называется сильной (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Сильная окрестность кривой

Рассмотрим пространство , состоящее из непрерывных функций, определенных на отрезке и имеющих непрерывные первые производные. Очевидно, . Функции и близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей и , а также не превышают некоторой наперед заданной малой положительной величины : , , так что . Такая окрестность называется слабой (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Слабая окрестность кривой

Соответственно вводится понятие близости k-го порядка, соответствующее функциональному пространству .

Определение. Функционал называется непрерывным при , если для любого положительного можно подобрать , такую что при , где  норма, определенная в смысле близости функций и k-го порядка.

Определение. Линейным называется функционал , удовлетворяющий следующим условиям.

1. Функционал является непрерывным,

2. ,

3. .

Общий вид линейного функционала

. (2.2)

Определение. Функционал , определенный для всех функций на множестве , называется квадратичным функционалом, если он приводится к виду

. (2.3)

3. Рассмотрим некоторый функционал и его приращение , где - вариация .

Определение. Вариацией функции , принадлежащей определенному классу функций, называется разность между двумя функциями при одинаковом значении аргумента : .

Определение. Если можно представить в виде

, (2.4)

где при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. , называется первой вариацией функционала и обозначается .

Функционал достигает экстремума при , если величина приращения функционала сохраняет свой знак в некоторой окрестности . Различают сильный и слабый экстремумы.

Если существует величина , такая что сохраняет знак для всех , входящих в пространство , у которых норма , то говорят, что при достигается слабый экстремум функционала.

Аналогично, экстремум называется сильным, если сохраняет знак для всех и удовлетворяет условию . Всякий сильный экстремум будет одновременно и слабым, но не наоборот, так как слабый экстремум достигается на более узком множестве функций, поскольку .

Теорема 2.1. Для того чтобы функционал достигал экстремума при , необходимо, чтобы при .

Доказательство. Пусть функционал имеет минимум при , тогда

,

с другой стороны .

При достаточно малом знак определяется знаком , а в силу линейности имеем: . Следовательно, может быть и меньше, и больше 0 при сколь угодно малом разного знака, т.е. экстремум невозможен. Противоречие устраняется, если . Аналогично доказывается необходимое условие максимума функционала.