7. Исследуем на экстремум функционал, зависящий от функций,

при граничных условиях

, ,

и связях

, где .

Такая задача называется задачей на условный экстремум. Справедлива следующая теорема [1].

Теорема 2.4. Если функции обеспечивают условный экстремум функционалу , то существуют функции , такие, что являются экстремалями функционала

, (2.16)

т.е. должны удовлетворять системе уравнений Эйлера

, (2.17)

где , , , и условиям связи:

.

Таким образом, при решении задачи составляются дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений первого порядка. Постоянные интегрирования определяются из граничных условий и условий связи.

8. 2.5. Основная формула для вариации функционала

Рассмотрим задачу со свободными концами. Будем считать, что экстремали  это кривые, концы которых могут произвольно перемещаться (рис. 2.4). Экстремаль изображена дугой , в результате ее варьирования получается дуга .

Рис. 2.4. Задача со свободными концами

Для этого общего случая определим вариацию функционала , как линейную по отношению к часть приращения функционала .

Запишем выражение для приращения функционала

.

Здесь есть приращение исходной функции , учитывающее смещение начальной и конечной точек. Перепишем это выражение, используя формулу Тейлора и отбросив члены выше первого порядка малости:

.

Учитывая, что

,

,

получим

.

Проведем некоторые построения с целью приведения ординат кривых и к одинаковым значениям аргумента : и . Для этого воспользуемся линейной экстраполяцией концов кривых: из точки проведем касательную до точки , соответствующей значению ; точку получим, проведя вертикальный отрезок из точки .

Учитывая, что (см. рис. 2.4) и , получим основную формулу для вариации функционала

. (2.11)

Это выражение учитывает изменение функционала от варьирования самой кривой (интегральный член), от варьирования ее концов (второй и третий члены) и от варьирования концов отрезка (четвертый и пятый члены).

Поскольку , , , , независимы друг от друга, необходимое условие экстремума приводит помимо уже полученного уравнения Эйлера к требованию обращения в нуль всех внеинтегральных членов выражения (2.11):

, ,

, .

Для случая, когда функционал зависит от неизвестных, основная формула для вариации принимает вид:

. (2.12)

9. При исследовании функционала (2.1) на экстремум предположим, что одна или обе граничные точки могут перемещаться по заданным кривым и . Эта задача называется задачей с подвижными границами. В этом случае класс допустимых кривых расширяется. Поэтому если на кривой достигается экстремум в задаче с подвижными границами, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой . Следовательно, функция должна быть решением уравнения Эйлера, и все кривые , на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными концами, должны быть экстремалями.

Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с закрепленными концами такими условиями были и . В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют. Недостающие условия для определения произвольных постоянных должны быть получены из основного необходимого условия экстремума  равенства нулю вариации .

Рассмотрим следующую задачу с подвижными границами. Найти экстремум функционала

,

определенного на кривых, концы которых могут перемещаться по линиям и (рис. 2.5).

Искомые кривые (экстремали) должны удовлетворять уравнению Эйлера, поэтому в выражении для вариации функционала остается только внеинтегральный член. Учитывая, что

, ,

где и - бесконечно малые величины, имеем

.

Вариации независимой переменной и не равны нулю, поэтому выражения , должны обращаться в нуль:

, (2.13)

. (2.14)

Рис. 2.5. Задача с подвижными концами

Эти граничные условия называются условиями трансверсальности. Про искомую экстремаль говорят, что она трансверсальна кривым и . Условия трансверсальности позволяют определить две постоянные интегрирования после решения уравнения Эйлера.

10. В некоторых классах вариационных задач решение достигается на негладких экстремалях (т.е. имеющих угловые точки). Предположим, что решается задача с закрепленными концами и что на искомой экстремали имеется точка излома , в которой терпит разрыв первая производная (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Задача с закрепленными концами и точкой излома экстремали

Найдем условия, которым должны удовлетворять решения с угловой точкой задачи об экстремуме функционала

.

Считая, что отдельные гладкие дуги ломаной экстремали являются интегральными кривыми уравнения Эйлера, что точка может произвольно перемещаться, используя основную формулу для вариации функционала (2.11), получим

, (2.18)

откуда

.

Так как и независимы, имеем

, (2.19)

. (2.20)

Эти условия называются условиями Вейерштрасса-Эрдмана и вместе с условиями непрерывности искомой экстремали позволяют определить координаты угловой точки C.

11. Если на плоскости через каждую точку некоторой области проходит одна и только одна кривая семейства , говорят, что это семейство кривых в области образует собственное поле. Угловой коэффициент касательной к кривой семейства , проходящей через точку , называется наклоном поля в точке : .

Поле называется центральным, если кривые покрывают всю область и нигде не пересекаются, кроме одной точки (центра пучка кривых), принадлежащей области .

Если собственное или центральное поле образовано семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно называется полем экстремалей.

Говорят, что экстремаль включена в поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей , образующее поле, содержащее при некотором значении экстремаль , причем последняя не лежит на границе области .

Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства пересекаются в точках -дискриминантной кривой, определяемой уравнениями

, .

Если дуга экстремали не имеет отличных от точки общих точек с -дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную экстремаль, то достаточно близкие к дуге экстремали пучка не пересекаются, т.е. образуют в окрестности дуги центральное поле, включающее эту дугу.

Если дуга экстремали имеет отличную от точки общую точку с -дискриминантной кривой пучка экстремалей, то близкие кривые пучка могут пересекаться между собой вблизи точки и, вообще говоря, поля не образуют. Точка называется точкой, сопряженной с точкой и является точкой пересечения двух бесконечно близких кривых семейства .

Условие Якоби. Для построения центрального поля экстремалей с центром в точке , содержащего дугу экстремали, достаточно, чтобы точка , сопряженная с точкой , не лежала на дуге .