4. Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями: , .
Лемма.
Если для каждой непрерывной функции
выполняется условие обращения в нуль
интеграла
,
где
функция
непрерывна на отрезке
,
то
на том же отрезке.
Доказательство.
Предположив, что в точке
,
лежащей на отрезке
,
,
придем к противоречию. Действительно,
из непрерывности функции
следует, что если
,
то
сохраняет знак в некоторой окрестности
точки
;
выбрав функцию
также сохраняющую знак в этой окрестности
и равную нулю вне этой окрестности,
получим
,
так
как произведение
сохраняет знак на интервале
и обращается в нуль вне этого отрезка.
Итак, мы пришли к противоречию,
следовательно,
.
5. . Для того чтобы функционал
,
определенный на множестве непрерывных функций , имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям , , достигал на экстремума, необходимо, чтобы функция удовлетворяла уравнению Эйлера
,
(2.5)
или в развернутом виде
.
(2.6)
Доказательство.
Получим формулу для первой вариации
функционала. Применяя операцию
варьирования подынтегрального выражения
при условии, что
,
получим
.
(2.7)
Проинтегрируем
второе слагаемое по частям и, принимая
во внимание, что
,
получим
.
(2.8)
Но
поскольку концы экстремали закреплены,
то
,
,
и получаем необходимое условие экстремума
в виде
.
(2.9)
В
силу основной леммы вариационного
исчисления, поскольку
,
для любого
,
получаем результат (2.5).
Интегральные
кривые уравнения Эйлера
называются экстремалями. Только на
них достигается экстремум рассматриваемого
функционала. Чтобы установить, реализуется
ли на них в действительности экстремум,
и притом максимум или минимум, надо
воспользоваться достаточными условиями
экстремума.
Краевая задача для уравнения (2.6) с граничными условиями , не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.
Получим
необходимые условия экстремума
функционала
,
зависящего от
независимых функций
:
при заданных граничных условиях всех функций
,
,...,
,
,
,...,
.
Если
варьировать одну из функций
,
оставляя остальные неизменными, то
рассматриваемый функционал превращается
в функционал, зависящий лишь от одной
функции, которая, следовательно, должна
удовлетворять уравнению Эйлера
.
Так как это рассуждение применимо к любой функции , то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка
,
(2.10)
определяющих
-параметрическое
семейство интегральных кривых
(экстремалей).
6. Изопериметрическими задачами, в узком смысле этого слова, называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.
В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более широкий класс задач, а именно, все вариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала
,
при наличии так называемых изопериметрических условий
,
где
- постоянные
,
а
может быть меньше или равно
.
Рассмотрим следующую изопериметрическую задачу.
Среди
всех кривых
,
удовлетворяющих условиям
,
,
на которых функционал
,
найти такую, которая дает экстремум функционалу
.
Пусть
и
имеют непрерывные производные на отрезке
.
Если искомая кривая не является
экстремалью функционала
,
тогда имеет место теорема [1].
Теорема
2.3. Если кривая
обеспечивает экстремум функционала
и удовлетворяет условиям
,
,
,
но не является экстремалью функционала
,
то существует такое число
,
что
является экстремалью функционала
.
(2.15)
Этот
результат используется следующим
образом. Составляется уравнение Эйлера
для функционала
.
Получается дифференциальное уравнение
второго порядка и находится его общее
решение
,
которое содержит параметр
и две произвольные постоянные. Эти три
величины определяются из граничных
условий и условия
.