2.Назначение и применение.
Пользователь
Ввод
матричных данных
Обработка
программой
Вывод:
Подробное решение и ответ к задаче.
3.Техническая часть.
3.1.Теоритический анализ задач.
Для начала дадим понятия матрицы:
Матрицей называется любая прямоугольная таблица чисел. Произвольную матрицу можно записать в виде [1] :
(3.1)
Определитель матрицы:
Определителем,
или детерминантом, квадратной матрицы
порядка n называется алгебраическая
сумма n! всех возможных различных
произведений её элементов, взятых по
одному и только по одному из каждой
строки и из каждого столбца, в которой
каждое произведение умножается на
,
где s — число инверсий в перестановке
номеров строк, в которые входят
сомножители, а t — число инверсий в
перестановке из номеров столбцов [1].
(3.2)
В
программе я использовал метод Гаусса:
произвольную матрицу 
можно
привести к ступенчатому
виду (Верхнетреугольная матрица),
используя лишь две следующие операции
над матрицей — перестановку двух
строк и добавление к одной из строк
матрицы другой строки, умноженной на
произвольное число. Из свойств определителя
следует, что вторая операция не изменяет
определителя матрицы, а первая лишь
меняет его знак на противоположный.
Определитель матрицы, приведённой к
ступенчатому виду, равен произведению
элементов на её диагонали, так как она
является треугольной,
поэтому определитель исходной матрицы
равен:
(3.3)
где 
—
число перестановок строк, выполненных
алгоритмом, а 
—
ступенчатая форма матрицы
,
полученная в результате работы алгоритма
[3].
Обратная матрица:
Матрица
называется обратной к заданной квадратной
матрице A,
если:
Только
невырожденные матрицы могут иметь
обратные:
.
Элементы обратной матрицы находятся следующим образом:
Системы решения линейных уравнений:
Система m линейных уравнений с n неизвестными может быть
записана в виде:
(3.4)
где
Решение системы в случае:
m = n, D = det A ≠ 0
Матричный метод:
Систему запишем в форме:
AX = B
По
условию задачи матрица A
невырожденная, а поэтому существует
единственная обратная матрица
В
итоге получаем:
Решение системы в случае:
m < n
Преобразуем расширенную матрицу к ступенчатому виду, из полученной матрицы составляем систему и выражаем уравнения, начиная с последней строки; чаще всего система имеет неопределённое количество решений в виду появления свободных переменных.
Решение системы в случае:
m < n
Если матрица сводится к виду m = n, то матрица совместна, иначе матрица не совместна – соответсвенно решений нет.
3.3.Описание основных алгоритмов.
1. Алгоритм проверки матрицы, является ли она ступенчатая:
(3.5)
Для проверки проходим по элементам матрицы ниже главной диагонали, т.е:
(3.6)
Если
все
,
где i
= 2..m,
j
= 1..i
– равны нулю, значит матрица является
ступенчатой.
2. Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (Алгоритм Евклида).
Алгоритм
Евклида: Даны два целых неотрицательных
числа 
и 
.
Требуется найти их наибольший общий
делитель, т.е. наибольшее число, которое
является делителем одновременно и
,
и
.
На английском языке "наибольший общий
делитель" пишется "greatest common divisor",
и распространённым его обозначением
является 
:
(здесь
символом "
"
обозначена делимость, т.е. "
"
обозначает "
делит
")
Когда одно из чисел равно нулю, а другое отлично от нуля, их наибольшим общим делителем, согласно определению, будет это второе число. Когда оба числа равны нулю, результат не определён (подойдёт любое бесконечно большое число), мы положим в этом случае наибольший общий делитель равным нулю. Поэтому можно говорить о таком правиле: если одно из чисел равно нулю, то их наибольший общий делитель равен второму числу [2].
3. Алгоритм нахождения детерминант матрицы (Метод Гаусса):
Для реализации нахождения детерминанта по методу Гаусса, необходимо преобразовать матрицу (3.5) к ступенчатому виду (3.6).
Проделав ряд тривиальных операций, матрица должна иметь вид:
(3.7)
После преобразования, элементы главной диагонали перемножаем, это и есть детерминант матрицы (3.5)
