12 Момент силы относительно оси, вычисление главного вектора и главного момента системы сил.

Проекция вектора Мо(f), то есть момента силы F относительно центра О на какую нибудь ось z проходящую через этот центр называется моментом силы F относительно оси z.

Mz(f)=|Mo(f)|cosY

Mz(f) – момент силы относительно оси z

Гамма – угол между вектором Мо(f) и осью z

Момент Мо(f) – алгебраическая величина

Знак момента определяется так же как знак проекции любого вектора.

Момент силы f относительно оси z = алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость перпендикулярную оси z взятому относительно точки о1 пересечения оси с этой плоскостью.

Проведем через произвольную точку О1 оси z плоскость ХУ перпендикулярную этой оси и спроектируем треугольник ОАВ на эту плоскость. Так как вектор Мо(f) перпендикулярен плоскости ОАВ а ось z перпендикулярна плоскости О1А1В1 то угол гамма как угол между нормалями к этим плоскостям является углом между плоскостями. Тогда 2*So1a1b1 = 2S Oab*cos gamma = |mo(f)*cos gamma|=mz(f).

По скольку в треугольнике о1А1В1 сторона О1В1 представляет проекцию Fxy на плоскости ХУ то площади треугольника ОАВ = Fxy*h.

Up

Момент силы относительно оси будет иметь знак + когда с положительного конца оси поворот который стремится совершить сила Fxy виден происходящем против хода часовой стрелки. И знак – когда по ходу часовой стрелки.

Механичский смысл величина Mz(f) состоит в том, что она характеризует вращательный эффект силы F когда эта сила стремится повернут тело вокруг оси Z.

Порядок вычисления момента силы относительно оси Z:

1) провести плоскость ХУ перпендикулярную оси Z

2) спроектировать силу f на эту плоскость и найти величину Fxy.

3) опустить из точки оси с плоскостью перпендикуляр на линию действия Fxy и найти его длину h.

4) Вычислить произведение fxy * h

5) определить знак момента.

Частные случаи:

1)Если сила || оси то ее момент относительно оси = 0.

2) Если линия действия силы пересекает ось то ее момент относительно оси также = 0.

То есть момент силы относительно оси = 0 если сила и ось лежат в одной плоскости.

3) Если сила перпендикулярна оси (лежит в плоскости перпендикулярной этой оси)то ее момент относительно оси = взятому соответсвующим знаком произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы и осью.

Теорема Вариньона для моментов силы относительно оси.

Момент равнодействующей силы относительно оси z будет равен сумме моментов относительно оси z всех сил действующих на тело.

Замечание:

Данной теоремой удобно пользоваться для нахождения моментов силы относительно координатных осей разлагая силу на составляющие параллельные осям или их пересекающие.

13 Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей.

Разложим силу F в точке А с координатами ХУZ на составляющие Fx Fy Fz параллельные координатным осям.

Тогда по теореме Вариньона момент этой силы Mx(f) = Mx(fx)+My(fy)+Mz(fz)

По скольку составляющая Fх парралельна оси Х а составляющие Fy Fz ей перпендикулярны, то с учетом знаков получим Mx(fx)=0 Mx(fy) = -ZFy Mx(fz) = yFz

Аналогично находятся моменты относительно осей У Z.

Окончательно получим следующее:

Mx(F)=yFz-zFy

My(F)=zFx-xFz

Mz(f)=xFy-yFx

Аналитические выражения для моментов силы относительно осей.

Замечание:

Поскольку левые части полученных равенств являются одновременно проекциями вектора Мо(F) на координатной оси то с помощью этих равенств можно найти модуль момента Мо(f) по след формуле:

|Mo|(f)= (|Mx(f)|^2+|My(F)|^2+|Mz(f)|^2)^1/2

Вычисление главного вектора и главного момента системы сил.

Как известно главный момент системы сил = R=EFk

А главный момент системы сил = Mo=Emo(Fk)

Найдем аналитические формулы для вычисления M и Mo.

Проекции вектора Мо на координатные оси будем обозначать Мх Му Mz.

По теореме о проекции суммы векторов на ось Мх = E[Mj(Fk)]x = Emx(Fk)

Аналогично находятся Му и Mz.

Таким образом получим следующие формулы для проекции главного вектора и главного момента системы сил.

Rx=EFkx, Ry=EFky, Rz=Fkz,

Mx=Emx(Fk), My=Emy(fk), Mz=Emz(fk)

Замечание: Как известно две системы сил, у которых 2 величины М и Мо совпадают – эквивалентны, следовательно, для задания любой системы сил действующих на твердое тело достаточно задать ее главный вектор и главный момент, относительно некоторого центра.