12. Линейная модель парной регрессии. Оценка параметров модели с помощью метода наименьших квадратов (мнк).

Если в построении модели участвует 1 независимый фактор и линейная независимая функция – парная линейная модель регрессии . x_i – независимый фактор, у_i – исследуемая величина, e_i – ошибки модели (остатки) e_i=y_iф-y_iр, , - параметры модели. задает начальное условие развития показателя у , - коэф-т регрессии, который показывает на сколько изменится величина у при изменении фактора на 1 единицу, характеризует интенсивность изменения у с каждой единицей изменения фактора. Если >0, то связь между переменными прямая и регрессия положительная, если <0, то связь обратная и регрессия отрицательная.

Основную информацию для анализа качества регрессионного уравнения можно получить из ряда остатков. Иногда только по одному графику остатков можно судить о качестве аппроксимации. Остатки модели должны обладать опр. свойствами: несмещенность, состоятельность, эффективность. На практике проверка этих свойств сводится к проверке 5 предпосылок МНК: 1.случайный характер остатков (критерий поворотных точек), 2.независимость уровней в ряде остатков (d-критерий Дарбина-Уотсона), 3.соответствие ряда остатков нормальному закону распределения(RS-критерий), 4.равенство 0 мат. ожидания остатков, 5.гомоскедастичность остатков.

1.Свойство случайности проверяется с помощью критерия поворотных точек или критерия пиков. Уровень в ряде остатков называется поворотной точкой, если он одновременно больше или одновременно меньше 2-ух соседних с ним уровней. Точкам поворота приписывают значения 1, остальным – 0. Свойство случайности выполняется, если количество поворотных точек справа означает, что от выражения внутри них нужно взять целую часть. n – количество уровней в ряде.

2.Для проверки свойства независимости (отсутствие автокорреляции) уровней в ряде остатков используют d-критерий Дарбина-Уотсона. В начале рассчитывают величину d по формуле: . Для этого критерия задаются 2 таблич. границы d₁ и d₂.

3.Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используют RS-критерий: RS =(E_max-E_min)/S_E. E_max и E_min- соотв. наибольшее и наименьшее значения уровней в ряде остатков. S_E- СКО. Если значение RS попадает в табличный интервал, то ряд остатков распределен по норм. закону.

5.Гомоскедастичность – постоянство дисперсии остатков по отношению к фактическим значениям фактора или показателя. Остатки называются гомоскедастичными, если они сосредоточены в виде горизонтальной полосы около оси x_i, в противном случае остатки называют

14. Анализ статистической значимости параметров модели парной регрессии.

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе F-критерия Фишера:

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице Дисперсионный анализ протокола Еxcel

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней степени_свободы 1 – это числитель степеней свободы (₁ = k) ; степени_свободы 2 – это знаменатель степеней свободы (₂ = (n – k – 1), где k – количество факторов, включенных в модель). Если Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования. Оценку значимости коэффициентов полученной модели, используя результаты отчета Excel, можно осуществить тремя способами.

Коэффициент уравнения регрессии признается значимым в том случае, если:

1) наблюдаемое значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента больше, чем критическое (табличное) значение статистики Стьюдента (для заданного уровня значимости, например, α = 0,05 и числа степеней свободы df = n – k – 1, где n – число наблюдений, а k – число факторов в модели);

2) Р-значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента меньше, чем уровень значимости, например, α = 0,05;

3) доверительный интервал для этого коэффициента, вычисленный с некоторой доверительной вероятностью (например, 95%), не содержит ноль внутри себя, то есть если нижняя 95% и верхняя 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки.

Значимость коэффициентов и проверим по второму и третьему способам, используя данные

Р-значение ( ) = 0,00 < а1< 0,05.

Р-значение () = 0,00 < а2 < 0,05.

Следовательно, коэффициенты и значимы при 1%-ном уровне, а тем более при 5%-ном уровне значимости. Нижние и верхние 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки следовательно, коэффициенты и значимы. ности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимос­тью.