29. Оценка существенности параметров линейной регрессии.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т. е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.

Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части – «объясненную» и «необъясненную».

где TSS – общая сумма квадратов отклонений; RSS – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией; ESS – остаточная сумма квадратов отклонений.

Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения у вызвана влиянием множества причин.

Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если фактор не оказывает влияния на результат, среднее значение у равно оценке ( ). Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции R2= r2yx, называемый коэффициентом детерминации.

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей регрессии результативного признака. Соответственно величина 1- r2 yx характеризует дисперсии У, вызванную влиянием остальных, не учтенных в моделях факторов. Величина коэффициента детерминации служит одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше меньше роль прочих факторов и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза.

Это равенство верно лишь в том случае, если верно (7.1), т.е. когда константа включена в уравнение регрессии. Только в этом случае имеет смысл рассматривать статистку R2. В силу определения R2 принимает значения между 0 и 1. Если коэффициент детерминации равен 0, то это означает, что регрессия ничего не дает, не улучшает качество предсказания у по сравнению с тривиальным предсказанием у среднее. Чем ближе к 1 значение R2, тем лучше качество подгонки, т.е точность аппроксимации.

30. Оценка влияния факторов на зависимую переменную (коэффициенты эластичности, бета коэффициенты).

Для анализа широко используются такие показатели как эластичность, β- коэффициент, ∆-коэффициент. Пусть имеется y˄= a0+a1x1+…+amxm пусть в модели выделен какой-то фактор xj. Оценим влияние этого фактора на у. Эj = aj*xˉj/yˉ чем выше коэффициент эластичности, тем сильнее влияние фактора. Он показывает на сколько в среднем изменится у, если фактор х увеличится на 1%. βj= aj*Sxj/Sy Sxj, Sy – среднеквадратические отклонения по соответствующей выборке. Чем выше β коэффициент, тем больше риска данный фактор привносит в изучаемый показатель. ∆j = βj * r_{x j y}/ R² ∆j означает долю влияния фактора xj в совокупном влиянии всех факторов на формирование показателя у.