14. Перечислите свойства операций сложения и умножения событий.

    1)   Ω + A = Ω ,

    2)   ΩA = A ,

    3)   AA = A (но не A2) ,

    4)   A + A = A (но не 2A) ,

    5)   A + Ж = A ,

    6)   AЖ = Ж ,

    7)   ( A \ B )( B \ A ) = Ж ,

    8)   A + B = B + A ,

    9)   AB = BA ,

    10)   C(A+B) = CA + CB ,

    11)   A + B = A•B, A + B = AB,

    12)   A = A, A + A = Ω.

15. Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство:

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

14. Сформулируйте следствия из теоремы сложения вероятностей (о сумме вероятностей событий, образующих полную группу, и сумме вероятностей противоположных событий).

Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

14. Дайте понятие условной вероятности. Запишите формулу нахождения условной вероятности события.

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем 

14. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступил

14. Какое событие называется зависимым, а какое независимым?

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

14. Как найти произведение двух независимых событий?

Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей:  .

14. Сформулируйте теорему о вероятности наступления хотя бы одного из независимых событий. Как найти эту вероятность в случае, когда все независимые события имеют одинаковую вероятность?

Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.

Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. 

24. Какие два события называются совместными? Сформулируйте теорему сложения вероятностей совместных событий. Приведите частные случаи теоремы.

События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Частный случай: если

 то

24. В чем заключается формула полной вероятности?

Теорема: вероятность события A, которое может наступить в результате появления одного из K несовместных событий, образующих полную группу равна p(A)=∑ki=1p(Bi)p(A∖Bi) сумме произведений вероятности каждого из этих событий на условную вероятность события A. Bi - гипотезы, ∑ki=1p(Bi)=1

24. Запишите формулу Байеса.

Изменится ли вероятность гипотез после того, как появилась информация что событие A уже произошло.

p(A)p(Bi∖A)=p(Bi)p(A∖Bi)  отсюда p(Bi∖A)=p(Bi)p(A∖Bi)∑ki=1p(Bi)p(A∖Bi) - формула Байеса (вероятность уточненной гипотезы)

24. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с постоянной вероятностью p и не появиться с постоянной вероятностью (1-p)=q.

Найти вероятность того, что в n испытаниях случайное событие наступит ровно k раз.

pn(k)=Сknpkqn−k (формула, схема Бернулли)

24. Что из себя представляет полигон распределения вероятностей?

Полигон распределения - ломаная линия, построенная на графике и характеризующая изменение вероятностей различных исходов событий при повторных испытаниях. 

24. Сформулируйте теорему Пуассона, локальную и интегральную теоремы Лапласа дня повторных независимых испытаний.

Теорема Пуассона: Если вероятность pn→0 , при n→∞ , то вероятность pn(k) (в n испытаниях событие наступает ровно k раз):

pn(k)≈k!λke−λ, 

где λ=n·p

Локальная Теорема Лапласа: Если число испытаний велико (n→∞) , вероятность появления события постоянна и отлична от нуля и от единицы, то вероятность того, что в n испытаниях событие наступить ровно k раз равна (чем больше n, тем точнее) следующему выражению: pn(k)≈1√npq·1√2π·e−2x2, где x=k−np√npq; или pn(k)≈1√npq·φ(x) , где φ(x)=1√2π·e−2x2 φ(x)− локальная функция Лапласа.

Кроме того, φ(x) - функция четная, т.е. φ(−x)=φ(x) 

Интегральная Теорема Лапласа: Пусть проводится n независимых испытаний, причем вероятность появления события p постоянна и отлична от нуля и от единицы, то вероятность того, что в n испытаниях событие наступит от k1 до k2 раз приблизительно равна:

pn(k1,k2)≈1√2π∫x′′x′e−2z2dz, где x′=√npqk1−np; x′′=√npqk2−np

pn(k1,k2)≈1√2π∫x′′0e−2z2dz−1√2π∫x′0e−2z2dz=Φ(x′′)−Φ(x′), где Φ(x)=1√2π∫x0e−2z2dz Φ(>5)=21;

Φ(−x)=−Φ(x)  (функция нечетная)

24. Дайте понятие случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

24. Какая случайная величина называется дискретной (прерывной), а какая непрерывной?

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

24. Что называется законом распределения случайной величины? Перечислите способы задания закона распределения.

Расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины. Любой способ задания случайной величины называется законом распределения этой величины. На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется функция распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: .

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям p_i  для дискретной случайной величины в непрерывном случае.

Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины Х называется функция f(x),являющаяся первой производной интегральной функции распределения: .

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью f(x) на определенном участке оси абсцисс.