16. Решение систем линейных уравнений итерационными методами. Метод простой итерации.

Нормой вектора B и матрицы А называют соответственно следующие числа: ;

количество итераций m: m≥

|x^(m)- x^(m-1)| ≤

X_n+1= X_n-(f(X_n)(b- X_n))/(f(b)-f(X_n))

X_n+1= X_n-(f(X_n)(X_n-а))/(f(X_n)-f(a))

| X_n+1- X_n|<Е

Алгоритм:

1. Преобразуем исходную систему к виду x=αx+β.

2. Находим норму матрицы.

3. Если |α| < 1, то переходим к пункту 4.

4. Задается начальное приближение и ε

5. Рассчитывается количество итераций i.

6. Вычисляется очередная итерация x_i+1=n(x_i)

7. Если |x^(m)- x^(m-1)| ≤ , то процесс закончен, иначе переход к пункту 6.

x = Hor(a0, b0, eps)

Call Iter(eps, x, n)

For i = 1 To 4

x(i) = 0: Next i: n = 0

Do : n = n + 1: l = False

For i = 1 To 4 : x0(i) = x(i) : Next i

For i = 1 To 4 : x(i) = b(i) / a(i, i)

For j = 1 To i – 1 : x(i) = x(i) - a(i, j) / a(i, i) * x0(j) : Next j

For j = i + 1 To 4 : x(i) = x(i) - a(i, j) / a(i, i) * x0(j) : Next j

If Abs(x(i) - x0(i)) > e Then : l = True

End If : Next i : Loop Until Not l : End Sub

16. Решение систем линейных уравнений итерационными методами. Метод Зейделя.

Ecли ||A||_I=… норма матрицы по столбцам <=1, но хотя бы для одного i выполняется строгое неравенство , то метод Зейделя сходится.

Call zeidel(eps, x, n)

For i = 1 To 4

x(i) = 0: Next i: n = 0

Do : n = n + 1: l = False

For i = 1 To 4 : x0(i) = x(i) : Next i

For i = 1 To 4 : x(i) = b(i) / a(i, i)

For j = 1 To i – 1 : x(i) = x(i) - a(i, j) / a(i, i) * x0(j) : Next j

For j = i + 1 To 4 : x(i) = x(i) - a(i, j) / a(i, i) * x(j) : Next j

If Abs(x(i) - x0(i)) > e Then : l = True : End If : Next i

Loop Until Not l : End Sub

16. Численное интегрирование. Метод прямоугольников с недостатком.

Встречаются модификации метода прямоугольников:

-метод левых прямоугольников

-метод правых прямоугольников

-метод средних прямоугольников

Абсолютная погрешность формулы прямоугольников на отрезке от a до b равна сумме погрешностей на каждом элементарном интервале.

Абсолютная погрешность:

xn = PrN(a, b, eps, n)

k = 1: s1 = 0: n = 0

Do

s = s1: k = k * 2: n = n + 1

dx = (b - a) / k

s1 = 0

For x = a To b - dx + e Step dx

s1 = s1 + f(x)

Next x

s1 = dx * s1

Loop Until Abs(s - s1) <= e

PrN = s1

End Function

16. Численное интегрирование. Метод прямоугольников с избытком.

Метод прямоугольников (левые, правые)

Встречаются модификации метода прямоугольников:

-метод левых прямоугольников

-метод правых прямоугольников

Абсолютная погрешность формулы прямоугольников на отрезке от a до b равна сумме погрешностей на каждом элементарном интервале.

Абсолютная погрешность:

xm = PrM(a, b, eps, n)

k = 1: s1 = -1: n = 0

Do

s = s1: k = k * 2: n = n + 1

dx = (b - a) / k

s1 = 0

For x = a + dx To b + e Step dx

s1 = s1 + f(x)

Next x

s1 = dx * s1

Loop Until Abs(s - s1) <= e

PrM = s1

End Function