Полное приращение функции и полный дифференциал функции двух переменных.

Дана функция двух переменных , дадим переменной x приращение x, а переменной y приращение y, тогда функция получит полное приращение .

Определение: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции z=Ax+By+ линейная относительно x и y, где A и B – некоторые числа, а -бесконечно малая, имеющая порядок малости выше, чем (-расстояние между точками) .

Таким образом полный дифференциал .

Теорема: Полный дифференциал функции равен сумме его частных дифференциалов: .

Пример: Найти полный дифференциал функции , , = .

Частные производные высших порядков.

Пусть функция двух переменных имеет частные производные и , которые тоже зависят от двух переменных x и y  их тоже можно продифференцировать.

Определение: Частная производная от частных производных называются частными производными второго порядка. , , . , , , .

Аналогично можно ввести понятие частного производного 3, 4 и высших порядков.

Теорема: Если функция непрерывна в месте с частным производным до второго порядка включительно, то смешанные производные второго порядка равны между собой.

4Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы 1 дифференциала.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема по x и по y, дифференцируем по t, тогда функция z в конечном итоге зависит от переменной t, следовательно её можно продифференцировать по t.

разделим dz на dt

Пример:

Инвариантность (неизменность дифференциала первого порядка)

Пусть z=f(x;y) Все функции предполагаются дифференцируемыми. Рассмотрим дифференциал от такой функции. = = |раскроем скобки, перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители du и dv| = = =

Вывод: Форма дифференциала первого порядка не изменяется если функция является сложной. Дифференциалы высших порядков этим свойством не обладают.

5Производная неявной функции.

Неявным заданием зависимости y от x называется уравнение вида F(x, y)=0, связывающее эти две переменные. Общая формула для y’(x), следующая из неявного уравнения F(x, y)=0, включает в себя частные производные. Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция F(x, y) и её частная производная по y непрерывны в G, F(x₀, y₀)=0, x₀, y₀ G, F_y(x₀, y₀)0. Тогда в некоторой окрестности точки x₀ существует единственная непрерывная функция f, задаваемая уравнением y=f(x), так, что в этой окрестности F(x, y(x))=0.

При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение F(x, y)=0:  .

Таким же способом можно получить формулы для частных производных функций нескольких переменных заданных неявно, например: F(x, y, z)=0 , .

6Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Определение: Плоскость, в которой распложены все касательные к линиям на поверхности, проходящим через точку касания M₀, называется касательной плоскостью к поверхности в точке M₀.

Если уравнение поверхности задано в виде z=f(x,y), точка M₀(x₀,y₀) и f(x₀,y₀) принадлежат поверхности, точка M₀ – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид: .

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида F(x,y,z)=0, точка M₀(x₀,y₀,z₀) – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Определение: Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Так как нормаль перпендикулярна касательной плоскости, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор нормали на касательной плоскости (координаты вектора нормали - это частные производные.)

Тогда уравнение нормали имеет вид: ;

Пример: Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M₀(1,2,-1).