60. Конечность спектра симметричного интегрального уравнения с вырожденным ядром
Спектром
наз. совокупность СЗ. Конечный спектр
– конечное число СЗ. Бесконечный спектр
– бесконечное число СЗ. Вырожденное
ядро – ядро вида:
При
будет симметричное вырожденное ядро:
Тогда
Матрица
имеет размерность N*N
. Другими словами, N
- количество СЗ (некоторые из них могут
совпадать). Если ядро явл вырожденным,
то спектр явл конечным. В случае
симметричных вырожденных ядер имеем:
Матрица В явл эрмитовой, т.к. она симметрична и вещественна
61. Вырожденность ядра с конечным спектром
Теорема: ядро симметричного интегрального ур-ия с конечным спектром явл вырожденным
– независимые
СФ
– СЗ
-
симметричная вещественная ф-ия
Рассм.
случай, что
.
Ур-ие будет иметь вид:
(1)
Покажем,
что
Мы показали, что они ортогональны.
Из
(1) следует:
-
линейная
комбинация ф-ий
Это
означает, что ф-ия
.
Наше
предположение, что
не
верно. Значит
,
т.е.
ядро явл вырожденным
63. Корни n-ой степени из комплексного числа и их свойства
k – целое число
……….
Сумма всех корней из 1 равна 0
(1)
комплексное
число
корни
n-ой
степени
Свойства записанные в виде (1) остаются справедливыми, т.е.
