17.Производная разрывной функции и дельта-функции.

Эта ступенчатая ф-ция наз ф-цией Хевисайда.

Ɵ(х)= ; Ɵ’(х)= ;

^Ԑ_-Ԑ=1;

Ɵ^’=δ₀(x); dg(x)=g^’(x)dx;

- интеграл Римана

- интеграл Стильтьеса

По определению Стильтьеса можно записать:

dƟ(x)=Ɵ^’(x)dx=δ₀(x)dx-

δ_a(x)=Ɵ^’(x-a)= δ₀(x-a);

δ₀(x)= δ(x); δ_a(x)= δ(x-a);

;

Дирак ввел δ функцию и поэтому она часто наз δ ф-цией Дирака. Соболев и Шварц определили, что δ ф-ция явл функционалом

18.Решение статической задачи с непрерывно распределённой силой.

(ОДУ)-TU^’’(x)=F(x); (ГУ)₁U(0)=0;U(l)=0;

U^’’(x)= ^’(x)=- ;

(x)=- ;

(замена порядка интегрирования)

(x)=- ;

(x)=- ;

(l)=- ;

C₁=

(x)=- - это ответ нашей задачи для непрерывно распределенной силы

19.Функция Грина статической задачи для струны с (гу)1.

;

U(x)= ;

Удобно ввести в рассмотрение след функцию:

G(x,y)= ; - функция Грина

Тогда U(x)= ;

Функция G(x,y) наз ф-цией Грина для труны. Эта ф-ция задана для х и у, когда они пробегают значения от 0 до l.

; - основной квадрат

Свойства функции: 1)G(x,y) непрерывна в основном квадрате и на диагонали y=x;

2)На всех четырёх сторонах основного квадрата функция Грина обращается в 0: G(0,y)=G(l,y)=G(x,0)=G(x,l)=0—Это св-во ф-ции Грина зад. (ГУ)₁

3)Производные ф-ции G(x,y) непрерывны в основном квадрате, за искл.диагонали y=x (на ней производные испытывают скачок)

4) --вторая производная есть ф-ция

5)Физ.смысл ф.Грина состоит в том, что G(x,y)= ф-ция Грина есть отклонение струны под действием силы приложенной к точке.

21.Различные формы записи общего решения некоторых оду.

- ;

; (определение)

; (обращение)

- общее решение

U(x)=C₁(chβx+shβx)+ C₂(chβx-shβx);

C₁+C₂=A₁, C₁-C₂=B₁ (переобозначение);

U(x)=A₁chβx+B₁shβx; - общее решение

При замене x на l-x имеем:

U(x)=C₃e^β(l-x)+ C₄e^{-β (l-x)} – ОР

U(x)=A₂chβ(l-x)+B₂shβ(l-x); -ОР

U(x)=B₁shβx+B₂shβ(l-x)-ОР …

20.Простейшие статические задачи для струны в упругой среде.

;

U(t,x)=U(x)

- ;

Простейшая задача: (ОДУ)- , F(x)=0;

(ГУ)₁₂ ;

- ;

Решается методом Эйлера:U(x)=e^λx;

U^’(x)=λe^λx; U^’’(x)=λ² e^λx;

-λ² e^λx+β² e^λx=0;

-λ²+ β²=0-характерестическое ур-ие;

β – известная константа, λ - неизвестная

λ₁=β и λ₂=-β;

;

- общее решение

U(0)=C₁1+C₂1=0; C₂=-C₁;

U(x)= C₁( - )=2C₁shβx;

U^’(x)=2C₁βchβx;

T U^’(l)= 2C₁Tβchβl=F₂;

2C₁= ;

U(x)= -ответ к простейшей задаче;

Если рассматривать (ГУ)₂₁ , то

U(x)=

22.Статическая задача для струны в упругой среде с точечной силой.

Рассмотрим случай когда на струну действует точечная сила.

(ОДУ) ;

F(x)=Fδ_a(x); ;

;

;

; ;

;

;

;

;

;

Отсутствие упругой среды означает:

;