40. Планы для квадратичных моделей (планы второго порядка), постановка задачи, полные факторные планы

ОУ имеет 1 выход и n входов (факторов) и описывается квадратичной моделью вида

-- скаляр, -- скалярное произведение, -- квадратичная форма относительно матрицы C.

Полный квадратичный полином при n=2 содержит 6 членов.

n=3 – 11 членов

Для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях.

Пример:

Альтернативой планам с варьированием факторов на 3-х уровнях являются композиционные планы, основой которых является полный факторный эксперимент вида . К этим опытам добавляются другие фрагменты, содержащие опыты в центре плана и опыты в «звездных» точках. Эти планы позволяют использовать информацию, полученную при реализации линейного плана .

Область планирования должна:

-- включать область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (такие планы называют композиционными);

-- не выходить за пределы единичного гиперкуба, т.е. для всех точек плана выполняется условие

-- не выходить за пределы единичного гипершара, определяемого соотношением таких значений факторов в плане, что .

Ортогональный центральный композиционный план второго порядка.(возможно не надо)

В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с N_ij = 2ⁿ точками плана, n₀ (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора , – плечо “звездных” точек.

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет ,

где для ОЦКП n₀=1.

При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3ⁿ .

n	2	3	4	5	6
ОЦКП	9	15	25	43	77
ПФЭ 3n	9	27	81	243	729

Ортогональность плана:

Симметричность:

Преобразование элементов осуществляется в виде ,

где а – величина, зависящая от числа факторов.

Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов

Откуда

Условие ортогональности для столбцов и

После преобразований получаем (1)

(1)

Принимая во внимание , разделим на обе части последнего выражения. Получим (2)

Для упрощения этого выражения рассмотрим формулу для определения а:

Заменим в формуле (2) на

, .

Плечо звездных точек .(3)

При n=3 ,

.

41. Корреляционные методы: уравнение Винера-Хопфа, нахождение корреляционных функций, параметрический метод решения уравнения Винера-Хопфа.

Линейный динамический объект с одним входом и одним выходом . В общем случае переменные и являются случайными процессами. Для упрощения полагаем их стационарными. Требуется найти по известным реализациям входа и выхода на некотором интервале оценку оператора ОУ, под которым будем понимать весовую функцию .

Выход ОУ: . (1)где – весовая функция объекта, подлежащая оценке.Так как по условию вход – стационарный случайный процесс, его можно представить в виде постоянного математического ожидания и случайного центрированного процесса : В установившемся режиме такая структура будет иметь и выход:

Связь между случайным входом и случайным выходом определяется (1). Подставив в (1) интеграл (1) распадется на два интеграла, один из которых (2), а второй определяется математическим ожиданием. (2) – случайная составляющая выхода.

Умножим обе части (2) на и осуществим операцию математического ожидания над ними.

В результате получаем уравнение Винера-Хопфа: (3)Которое связывает взаимную корреляционную функцию входа и выхода с корреляционной функцией входа.

Для определения весовой функции в соответствии с (3) необходимо иметь информацию о корреляционной функции входа и взаимно корреляционной функции. Необходимо исключить верхний предел равный бесконечности.

– интервал корреляции, т.е. временный сдвиг между сечениями случайного процесса, начиная с которого корреляционная функция близка к 0.

Знач. случ. процесса при – сечение случайного процесса( )

– функция интеграла между двумя сечениями

Уравнение Винера-Хопфа примет вид (4): (4)

Оценки корреляционных ф-ий

Эти формулы справедливы для эргодического случайного процесса. Эргодический случайный процесс – стационарный случайный процесс, у которого характеристики, определенные по одной бесконечной реализации совпадают с характеристиками, найденными по множеству реализаций.

Параметрический метод решения уравнения Винера – Хопфа

Весовая функция разлагается по системе известных функций (5): (5). (5) подставим в (4) и используя квадратичный критерий идентификации, находятся оценки коэффициентов , которые минимизируют данный критерий.