8 Дифференциальные модели од: метод малого параметра, условия работоспособности.
Дифференциальные модели ОД В ряде случаев в качестве диагностируемой модели можно рассмотреть характеристическое уравнение и анализируемое изменение коэффициентов или полюсов этого уравнения.
Условия работоспособности в области коэффициентов уравнения могут быть получены методом малого параметра. Пусть ОД описывается ДУ n-го порядка
,
(1) f(t)
– известная правая часть,
(1)
– неоднородное ЛДУ. Полагая f(t)=0,
переходим к однородному ДУ. Заменяя
производные на оператор дифференцирования
р, получим характеристическое уравнение
(2)
Коэффициенты
этого уравнения, которые описывают
работу объекта в начале эксплуатации,
называют номинальными коэффициентами,
полюса уравнения обозначают
.
В результате старения элементов в
процессе эксплуатации изменяются
коэффициенты характеристического
уравнения, и на каком-то этапе уравнение
преобразуется в (3)
(3) где
- значения коэффициентов, соответствующие
стареющим элементам,
-- изменения коэффициентов относительно
номинальных значений. Уравнение (3) будет
иметь и др. полюсы в результате изменения
коэффициентов
:
-- функция изменения
Будем считать, что изменения
не очень большие, тогда полюсы уравнения
(3) разложим в ряд Тейлора в окрестности
номинальных коэффициентов
(в окрестности полюсов
)
и ограничимся линейной моделью ряда,
т.е. первыми двумя членами:
, (4)
-- вектор.
Т.о., если условия работоспособности объекта задать ограничением на перемещение корней характеристического уравнения
,
то в области коэффициентов изменение
можно определить из условия
Оценка
коэффициентов
ДУ (или характеристического полинома
ПФ) осуществляется одним из методов
идентификации.
Пример
Объект
описывается ПФ
Характеристическое
уравнение:
,
где
Известны
параметры системы
Тогда
,
и корни характеристического уравнения:
Предполагая,
что изменяются параметры
и
,
получим уравнение:
(5)
Находим полный дифференциал характеристического уравнения:
Получаем
(6)
Вычислим входящие в правые части (6) величины
Тогда
Т.о., соотношение (4) принимает вид:
В комплексной плоскости условия работоспособности объекта определяются допустимыми перемещениями полюсов
,
а в области коэффициентов необходимо соблюдение условий
9.
Нелинейные
регрессионные модели, приведение
нелинейных моделей к линейным
Нелинейные регрессионные модели часто описывают наблюдаемый выход объекта более точно, чем линейные. Нелинейные модели можно разбить на 2 класса:
регрессии нелинейные относительно включенных объясняющих переменных (факторов), но линейные по оцениваемым параметрам.
В качестве примера нелинейная парная регрессия:
– один вход и
среднее значение выхода.
;
и т.д.
регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
– степенная
функция;
– помехоустойчивая
функция;
– экспоненциальная
функция и т.п.
Для нелинейных
моделей первого класса путем введения
новых переменных
нелинейные модели приводят к линейным:
– линейный
двухфакторный.
Для второго класса два подкласса (модели, приводящие к линейным в результате преобразований, и модели, не приводящие к линейным).
– степенная
регрессия.
Логарифмируем обе части по основанию :
.
Вводим переменные:
.
Получаем линейную
регрессию:
,
коэффициенты определяются в виде МНК
– оценок.
Т.к. осуществляются нелинейные преобразования, то оценки являются несмещенными. Нелинейные модели, не приводимые к линейным используют численные методы нахождения оценок коэффициентов регрессии. На основании наблюдений формируются невязки:
,
где
.
Квадратичный критерий идентификации:
(27)
Если вид нелинейной
регрессии известен, то задача получения
модели сводится к определению
коэффициентов регрессии, т.е. задача
идентификации сводится к задаче
параметрической идентификации, которая
заключается в таком выборе векторов
оценок коэффициентов регрессии
,
при котором критерий идентификации
достигал бы
.
Т.е. приходим к задаче оптимизации без
ограничений (на оценки коэффициентов
регрессии никаких ограничений не
накладывается). Для решения подобных
задач используется, как правило, численные
методы оптимизации.