Алгебра многочленов

1. Поделить на с остатком

2. Найти остаток от деления многочлена на

3. Разложить над полями

4. Разложить над

5. Найти значение многочлена в точке

6. Доказать, что многочлен обратим в алгебре многочленов тогда и только тогда, когда он – ненулевая константа.

7. Создать тип polimon с полями koef (массив коэффициентов), deg (степень многочлена), Lkoef (старший коэффициент). Методы этого типа: сложение и умножение многочленов, деление с остатком, значение многочлена

Наивная теория множеств

1. Все множества строятся из пустого множества. Например, и . Написать программу-функцию, выдающее по заданному натуральному числу его запись через пустое множество. Сколько получается фигурных скобок?

2. Даны множества . Изобразить их на числовой оси. Описать множества и изобразить их на числовой оси.

3. Пусть А – множество ромбов на плоскости, а В – множество прямоугольников на плоскости. Описать в геометрических терминах пересечение .

4. Перечислить элементы множества .

5. Равно ли множество множеству ?

6. Пусть Р – множество ромбов, П – множество прямоугольников, Ч – множество четырехугольников, Т – множество трапеций, К – множество квадратов на плоскости. Отметить в виде диаграммы все отношения включения между ними.

Алгебра высказываний

1. Объясните, почему утверждения 2,4,7 справедливы, а утверждения 1,5,6 ложны?

2. Пусть в какой-либо квазитеории, полагают по определению . Будет ли тогда утверждение 3 верным (в этой квазитеории) ?

3. Построить таблицу истинности для булевой функции а) ; б) . По таблице истинности построить СНДФ, СКНФ и многочлен Жегалкина

4. Задана булева функция двух переменных:

(a,b)	(0,0)	(1,0)	(0,1)	(1,1)
G	1	0	1	0

Построить СНДФ, СКНФ и многочлен Жегалкина для G.

5. Попытайтесь доказать 7. Если получится, немедленно сообщите преподавателю, --вас ждет награда.

6. Битовую строку из 16 единиц назовем «чистой правдой», а из 16 нулей – «откровенной ложью». Эти правда и ложь единственны, а сколько будет полуправд -- битовых строк, в которых восемь единиц и восемь нулей?

7. Пусть таковы, что и . Найти ; ;

8. Как сказал великий сатирик Аркадий Райкин «женщина – друг человека». Эту высказывательную форму относительно переменных «женщина», «человек» замкнуть всеми возможными способами (сколько их?) и оценить истинность получившихся высказываний.

9. Рассмотреть оставшиеся случаи замыкания формы « »

10. Сколько разных способов замыкания высказывательной формы от трех переменных (а от n переменных)?

11. Найти все значения булевых переменных при которых форма становится истинной.

12. Решить булево уравнение

13. Построить таблицу истинности формулы

Алгебра кватернионов

1. Доказать, что отображение

является изоморфизмом ℍ как алгебры над полем ℝ на некоторую подалгебру в алгебре матриц Mat(2×2,ℂ ) над ℝ.

2. Решить в ℍ уравнение (описать многообразие решений).

3. Рассчитать образ точки Р(-5;7;1) под действием поворота на угол относительно вектора , а затем поворота на угол относительно вектора