Комплексные числа
Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5, -2, -3i, .
Найти вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнению: а) ; б) .
Вычислить выражения: а) (2+i)(3-i)+(2+3i)(3+4i); б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Вычислить , где n – целое число.
Комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах.
Найти тригонометрическую форму числа: а) 5; б) i; в) -2; г) -3i; д) (1+i); е) ; ж) ; з) sin +i cos ; и) .
Данные комплексные числа представить в показательной форме и выполнить действия: а) ; б) .
Выразить cos 3φ, sin 3φ, cos 4φ, sin 4φ через и sinφ .
Найти комплексные числа такие, что
Нарисовать линию на комплексной плоскости, заданную уравнением: а) , б) , в) , г)
Нарисовать на плоскости ℂ область, заданную неравенствами а) 1<|z|≤ 5; б) -1≤ Re z<0; в) 2π > Im z>0, г)
Изобразить на комплексной плоскости множество точек, соответствующиx условиям: а) |z|=1; в) |z-1-i|<1; г) 1≤ |z-2i|<2; д)|Re z|≤ 1; е) |z+2|-|z-2|=3.
Как расположены на плоскости точки, соответствующие а) комплексным числам , для которых , и ; б) комплексным числам для которых ,
Нарисовать кривую на комплексной плоскости.
Разложить многочлен двух переменных в произведение линейных многочленов над полем ℂ.
Найти образ единичного квадрата K: 0≤ x≤ 1, 0≤ y≤ 1 относительно отображения z→ 1/(1+z).
Вычислить выражения: а) ; в) ; г) .
Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум его соседним вершинам соответствуют числа 2+i и 5-i.
Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам , где t∈ ℝ .
Доказать равенство
Найти все комплексные числа, сопряженные к а) своему квадрату; б) своему кубу.
Найти при .
Доказать равенства: а) (n∈ ℤ ); б) (n∈ℤ )
Решить уравнения над полем комплексных чисел:
;
;
;
(4+i)z+7i=1;
;
;
;
;
;
.
Решить уравнения: а) , б) .
Решить систему уравнений:
, ;
; ;
, .
Доказать, что:
если |z|<1, то ;
если |z|≤ 2, то ;
если |z|<1/2, то .
Доказать неравенство: .
Доказать, что если , то , где n∈ ℤ .
Доказать равенство:
где x≠ 2kπ, k∈ ℤ
Доказать, что если комплексное число z является одним из корней степени n из вещественного числа a, то и сопряженное число является одним из корней степени n из a.
Вычислить все комплексные корни: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .
Найти двумя способами корни степени 5 из единицы и выразить в радикалах и . Как следствие получить способ построения правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки.
Решить уравнения: а) ; б) .
Является ли число корнем некоторой степени из единицы?