Алгебраические системы

1. Какие из следующих операций над целыми числами коммутативны и/или ассоциативны: а) m-n; б) , в) m+n-mn; г) ?

2. Будет ли отрезок [-1;1] группой относительно операции сложения ? НЕТ

3. Будет ли интервал (0;+∞) группой относительно операции умножения? ДА

4. Будет ли множество C[-1;1] непрерывных функций на отрезке [-1;1] кольцом? Привести пример двух ненулевых функций f,g∈ C[-1;1] таких, что fg=0.

5. Будет ли отрезок [-1;1] без 0 группой относительно операции умножения?

6. В моноиде ℳ слов над алфавитом А={а,б,в} найти все слова длины 2. Сколько слов длины n в моноиде ℳ ?

7. В моноиде невырожденных 2х2-матриц (относительно умножения) найти все инволюции (т.е. элементы, квадрат которых равен единичному элементу).

8. В кольце Mat(2x2,ℝ) найти все а) идемпотенты; б) нильпотентные элементы (некоторая степень равна 0).

9. Пусть G – группа движений плоскости, Φ – поворот на относительно О, Ψ – отражение относительно оси Oy. Описать в геометрических терминах движения а) и ; б) . Решить уравнение .

10. Проверить, что множество остатков от деления на 5 есть поле относительно операций сложения и умножения по модулю 5. Составить таблицы сложения и умножения в этом поле.

11. Проверить, что множество , где 1+1=0 и есть поле (Галуа) из четырех элементов, содержащее поле . Составить таблицы сложения и умножения в этом поле.

12. В алгебраической системе «Неделя» («Неделя*{чет, нечет}) с унарными операциями СледДень, ПредДень найти а) ; б)

Абелевы группы

1. Разложить в прямую сумму циклических групп фактор группу , где .

2. Разложить в прямую сумму примарных циклических групп фактор группу , где .

3. Какие из подмножеств рациональных чисел будут подгруппой в (ℚ ,+): а) ; б) десятичные дроби; в) правильные дроби; г) целые числа

4. Циклическую группу порядка 7 реализовать как а) группу движений плоскости; б) подгруппу группы подстановок; в) подгруппу мультипликативной группы комплексных чисел.

Подстановки

1. Даны подстановки . Найти ,

2. Записать подстановку такую, что . Каков ее порядок?

3. Записать подстановку вершин квадрата при отражении его относительно диагонали.

4. Записать подстановку вершин куба при повороте куба на относительно его диагонали.

5. Разложить в циклы, найти порядки и знаки этих подстановок.

6. Каково наибольшее возможное число инверсий у подстановки ? На какой подстановке оно реализуется?

7. Решить уравнение относительно .

8. Написать программу генерации случайной подстановки.

9. Написать программу нумерации подстановок.

10. Написать программу возведения подстановки в заданную степень.

11. Доказать, что порождается транспозицией (1,2) и максимальным циклом

Кольца

1. Найти группу обратимых элементов для следующих колец

   1. 

   2. 

   3. кольцо непрерывных функций на отрезке [0;1]

   4. кольцо сходящихся последовательностей

2. Дано кольцо матриц Сколько в нем элементов? Оно коммутативно? Его группа обратимых элементов ?

Поля

1. Обратить в поле

2. Обратить в поле

3. Построить поле Галуа GF(8) исходя из нового элемента α такого, что

4. Можно ли расширить поле ( ) подсоединением корня из -1?

5. Доказать, что поле рациональных чисел не содержит собственных подполей.