2) Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Симплекс-метод – один из наиболее эффективных методов численного решения задач ЛП. Суть понятия «симплекс» заключается в следующем. Для тела в k -мерном пространстве симплексом называется множество, состоящее из k +1 вершин этого тела. Так, при k = 2, т.е. на плоскости, симплексом будут вершины треугольника; при k = 3 симплексом являются вершины четырехгранника, например тетраэдра, и т.д. Такое название методу дано по той причине, что в его основе лежит последовательный перебор вершин ОДЗП с целью определения координат той вершины, в которой функция цели имеет кстремальное значение.

Решение задачи с помощью симплекс-метода разбивается на два основных этапа.На первом этапе находят одно из решений, удовлетворяющее системе ограничений . Системы, в которых переменных больше, чем ограничений N > m, называются неопределенными. Они приводятся к определенным системам (N = m) путем приравнивания к нулю N-m каких-либо переменных. При этом остается система m уравнений с m неизвестными, которая имеет решение, если определитель системы отличен от нуля. В симплекс-методе вводится понятие базисных переменных, или базиса. Базисом называется любой набор из m таких переменных, что определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных в m-ограничениях, отличен от нуля. Остальные N-m переменных называются небазисными, или свободными переменными. Если принять, что все небазисные переменные равны нулю, и решать систему ограничений относительно базисных переменных, то получим базисное решение.

В системе из m уравнений с N неизвестными общее число базисных решений при N > m определяется числом сочетаний

3) Двойственная задача линейного программирования.

Важную роль в линейном программировании имеет понятие двойственности. Рассмотрим две задачи линейного программирования:

max{F(x) = C^T x| Ax≤B, x_i≥0, i =1,n} (1)

и

min{F(y) = B^T y| A^T y≥C, y_j ≥0, j = 1,m}. (2)

Задачу (1) называют прямой, а связанную с ней задачу (2) – двойственной. Вместе они образуют симметрическую пару двойственных задач. Число переменных двойственной задачи равно количеству ограничений прямой. Кроме того, при переходе от прямой задачи к двойственной вектора B и C меняют местами, матрица A коэффициентов системы ограничений прямой задачи транспонируется, а знак неравенств в ограничениях меняют на противоположный. Смысл экстремума F(x) противоположен смыслу экстремума F(y) . Связь между задачами (1) и (2) взаимна, т.е. если прямой считать задачу (2), то в качестве двойственной ей будет соответствовать задача (1). Возможность перехода от прямой задачи к двойственной (и наоборот) устанавливается теоремой двойственности: если одна из задач (1) или (2) имеет оптимальное решение, то и другая также имеет оптимальное решение, причем оптимальные значения функции цели прямой и двойственной задач совпадают, т.е. max F(x) = min F( y) .

4) Транспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.^[1][2] Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки. Транспортная задача является по теории сложности вычислений NP-сложной и входит в класс сложности NP. Когда суммарный объём предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объёму спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами потребления, транспортная задача называется несбалансированной (открытой). Метод потенциалов

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций.

Общая схема отдельной итерации такова.

По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

 

Рассмотрим подробнее процесс определения потенциалов текущего плана транспортной задачи. Потенциал первого пункта потребления принимаем равным нулю

Теперь, зная его, мы можем определить потенциалы для всех пунктов производства, связанных с первым пунктом ненулевыми перевозками.

Для свободных клеток транспортной таблицы вычисляются величины

называемые разностями потенциалов. В таблице они выписаны для всех небазисных клеток под ценами.

Разность потенциалов можно трактовать как увеличение цены продукта при его перевозке из пункта i в пункт j.

Процесс «улучшения» плана состоит в определении вводимой и выводимой клеток, в чем прослеживается содержательная аналогия с соответствующими пунктами симплекс-процедур.

Выводимая клетка определяется с помощью так называемой цепочки преобразования плана, описывающей характер перераспределения грузовых потоков. В соответствии со свойствами транспортной задачи для невырожденного базисного плана в текущей таблице можно образовать замкнутую цепочку, состоящую только их вертикальных и горизонтальных звеньев, одной из вершин которой является выбранная свободная клетка, а остальные — занятые клетки.

В построенной цепочке, начиная с вводимой клетки (которая считается первой), помечаются вершины: нечетные — знаком «+», а четные знаком «—». Знаком «+» отмечаются те клетки, в которых объемы перевозок должны увеличиться (таковой, в частности, является клетка, вводимая в план, поскольку она должна стать базисной). Знаком «—» — те клетки, в которых перевозки уменьшаются с целью сохранения баланса. Среди множества клеток, помеченных знаком «—», выбирается клетка с наименьшим значением.

6.приложение математического анализа в экономике

1) Производственная функция, также функция производства — экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количествопродукции) и факторами производства, (затраты ресурсов, уровень технологий и др.) может выражаться как множество изоквант.^[1]

Агрегированная производственная функция может описывать объёмы выпуска народного хозяйства в целом.

В зависимости от анализа влияния факторов производства на объём выпуска в определённый момент времени или в разные промежутки времени производственные функции делятся на статические:   и динамические:  . Фондоотдача (см. Фонд), выпуск продукции на единицу стоимости производственных основных фондов (основного капитала). В социалистической экономике показатель Ф. характеризует уровень эффективности использования производственных основных фондов. Широко применяется при экономическом анализе, обосновании планов производства и капитального строительства в целом по народному хозяйству и по отдельным отраслям, производственным объединениям, предприятиям. При расчётах Ф. в целом по народному хозяйству используются данные о валовом общественном продукте и о произведённом национальном доходе, а по отдельным отраслям = о валовой (товарной) или чистой продукции.