Энергия электромагнитных волн

Электромагнитное поле обладает энергией. Поэтому распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии электрического и магнитного полей, подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии.

Вспомним, что было сделано упругих волн.

Это вектор плотности потока энергии или поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени. Этот вектор называется вектором Умова.

Рассмотрим электромагнитные волны.

Электромагнитные волны переносят в пространстве энергию. Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей:

Поскольку мгновенные значения и связаны соотношением , то выражение для объемной плотности энергии электромагнитной волны в произвольный момент времени в рассматриваемой точке пространства можно представить в виде:

Поскольку, то

Умножив полученное выражение для на скорость волны , получим модуль плотности потока энергии:

Векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен . Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно представить как векторное произведение и :

Вектор называется вектором Пойнтинга.

Вектор Пойнтинга получен нами применительно к электромагнитной волне. На самом деле этот вектор является универсальным в том смысле, что он описывает движение электромагнитной энергии в любых условиях. Например, это вектор определяет обмен энергией между полями, непосредственно создающими ток в проводе, и электромагнитным полем за пределами провода.

Запишем выражение для плотности энергии бегущей гармонической электромагнитной волны в вакууме.

;

плотность потока энергии:

Окончательно запишем .

Интенсивность электромагнитной волны

Для периодической волны более информативным, чем мгновенное значение вектора Пойнтинга, является значение, усредненное по периоду волны. Это интенсивность электромагнитной волны .

Интегрирование квадрата косинуса по периоду дает величину . При усреднении по периоду среднее значение квадрата косинуса равно , следовательно, окончательно запишем.

.

Импульс электромагнитной волны

Перенос энергии электромагнитной волной сопровождается и переносом импульса. Импульс электромагнитного поля можно описать следующим образом.

,

где – энергия электромагнитного поля.

Запишем это выражение для плотностей импульса и энергии, т.е., для величин, отнесенных к единице объема:

.

Если умножить и разделить числитель и знаменатель этого выражения на , получим в числителе плотность потока энергии , которая равна модулю вектора Пойнтинга. В векторном виде получим следующее выражение для импульса электромагнитной волны:

Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела двух однородных диэлектриков

Плоская монохроматическая волна падает на плоскую, бесконечную границу раздела двух однородных изотропных диэлектриков. С помощью формул Эйлера выражения для компонент плоской электромагнитной волны можно записать в следующем виде.

(1)

По Максвеллу свойства среды, в которой распространяется электромагнитная волна, определяется её макроскопическими характеристиками  и . Мы уже знаем, что скорость такой волны в вакууме , а в среде

Тогда коэффициент преломления волны или абсолютный показатель преломления будет равен.

Для всех прозрачных для электромагнитных волн диэлектриков (прозрачных в видимой области спектра тел)   1, то (2)

С огласно граничным условиям, тангенциальные составляющие электрического и магнитного векторов остаются постоянными во всех точках границы раздела для любого момента времени.

(3)

Из (3) следует наличие поля во второй среде, если на границу раздела падает электромагнитная волна. Удовлетворить двум условиям, предполагая только наличие одной плоской волны, невозможно, т.к. равенства

и (4)

одновременно можно удовлетворить только при ₁ = ₂, что тривиально. Поэтому для решения задачи нужно предположить существование кроме падающей плоской волны ещё, по крайней мере, двух плоских волн – отражённой и преломлённой. Учитывая это для электрических векторов соответствующих волн, будем иметь.

П адающая волна.

О

(5)

тражённая волна.

Преломлённая волна.

Учитывая (3) и (5) на границе можно записать.

(6)

Условие (6) выполняется при любом t и в любой точке плоскости раздела, если будут выполнены следующие условия.

(7)

Для доказательства (7) граничное условие (6) перепишем в следующем виде.

(8)

A, B, C – величины не зависящие от t.

Продифференцируем (8) по времени и после простых преобразований и сокращения на мнимую единицу получим.

(9)

Сравнивая (8) и (9) получим.

(10)

Это равенство удовлетворяется при любых t, если ^П = ^Отр.

Выразим из (8) и (9) выражения для .

Продифференцируем и получим.

Отсюда будем иметь.

Последнее равенство будет удовлетворяться при любых t, если ^П = ^Пр, т.е. мы доказали первую строку в (7)

Доказательства равенства компонент волновых чисел принципиально ничем не отличаются, только вместо дифференцирования по времени проводится дифференцирование по координатам.

Мы доказали, что частоты, и компоненты волновых чисел при переходе электромагнитной волны из одной изотропной среды в другую не изменяются.

Выведем закон отражения и преломления.

Е сли волновой вектор падающей волны лежит в плоскости xz, то и, следовательно, , т.е. волновые вектора всех трёх волн лежат в одной плоскости, которая, как принято, называется плоскостью падения. На предыдущем рисунке эта плоскость заштрихована.

Введём обозначения углов  – угол падения, ' – угол отражения,  – угол преломления.

Как видно из рисунка.

(11)

Если принять во внимание, что модуль волнового вектора равен , то будем иметь.

(12)

₁ и ₂ скорости распространения электромагнитной волны (света) в первой и второй средах. Из (7), (11) и (12) имеем.

(13)

Отсюда следует, что  = ', т.е. угол падения равен углу отражения.

(14)

n₂₁ – это относительный показатель преломления.

Таким образом, мы получили закон преломления света (или электромагнитных волн), который ещё называется законом Снеллиуса (1580 – 1626). Этот закон экспериментально был открыт им в 1621 году.

Формулу (14) можно переписать в следующем виде.

(15)

Из этой формулы видно, что при переходе электромагнитной волны (света) из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (n₁ > n₂) луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения  сопровождается более быстрым ростом угла преломления , и по достижении углом  значения

(16)

угол  становится равным /2. Угол, определяемый формулой (16), называется предельным углом.

Энергию, которую несёт с собой падающая волна, распределяется между отражённой и преломлённой волнами. По мере увеличения угла падения интенсивность отражённой волны растёт, а интенсивность преломлённой волны убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключённых в пределах от j_пред до /2, световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны  и затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением.

Законы отражения и преломления в данном виде справедливы, если интенсивность падающего излучения невелика. При больших интенсивностях в составе отражённого света появляется излучение с частотой больше, чем у падающего, направление отражения которого не совпадает с направлением, определяемым законом отражения. При изучении световых явлений эта область называется областью нелинейной оптики.