Маятники

Математический маятник

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и совершающая колебания под действием силы тяжести.

И зобразим такой маятник в момент, когда нить подвеса отклонена влево от вертикали на угол , маятник движется влево. Введем следующие обозначения: – сила тяжести, – сила натяжения нити, – радиус-вектор.

Момента силы тяжести относительно оси. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения так, что образует правый винт с направлением вращения (движения) маятника. Угловое ускорение совпадает по направлению с вектором , если угловая скорость увеличивается, и направлено в противоположную сторону, если скорость уменьшается. Пренебрежем силами трения и сопротивления среды. Для получения уравнения движения применим основной закон вращательного движения твердого тела.

В этом уравнении – момент инерции точки относительно оси, проходящей через точку подвеса. Момент силы тяжести стремится возвратить маятник в положение равновесия; момент силы натяжения нити относительно той же оси равен нулю.

Величины, входящие в уравнение запишем следующим образом:

, ,

Отсюда основной закон вращательного движения в проекции на ось вращения может быть записан в следующем виде.

Знак "минус" означает, что действие силы тяжести направлено против движения маятника. Окончательно получим.

где

В итоге получили обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника при любой величине угла отклонения от вертикали. Если рассматривать малые отклонения маятника от положения равновесия , то из выражения следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний (при ):

при этом имеет смысл собственной круговой частоты малых колебаний математического маятника. Период этих колебаний определяется по формуле . Решением этого уравнения является известная формула гармонических колебаний

Физический маятник.

Физический маятник – это твердое тело, совершающее в поле сил тяжести колебания относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку, не совпадающую с центром инерции. Т.е. это любое тело, которое нельзя представить материальной точкой.

Физический маятник схематично изображен на рисунке. - это точка подвеса, – положение центра инерции тела, – расстояние от точки подвеса до центра инерции, – масса тела.

В ывод уравнения движения физического маятника полностью идентичен выводу уравнения движения математического маятника. Отличие состоит в том, что в общем случае невозможно записать вид выражения для момента инерции маятника.

Обозначим собственную частоту колебаний физического маятника, как , получим такие же уравнения, как и для математического маятника.

Для физического маятника вводят понятие приведенной длины.

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, круговая частота колебаний которого совпадает с круговой частотой физического маятника:

Действительно, , , .

В итоге получим .

Пружинный маятник.

П ружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой , подвешенного на абсолютно упругой пружине и совершающего прямолинейные гармонические колебания поле сил тяжести под действием упругой силы. Пусть груз сместился от положения равновесия вниз и продолжает движение вниз. На груз действует сила тяжести и сила упругости деформированной пружины, пропорциональная смещению от положения равновесия:

,

где – величина, называемая жесткостью пружины.

Закон пружинного движения маятника выражается равенством

.

Отсюда дифференциальное уравнение колебаний маятника запишется в виде:

.

Маятник совершает гармонические колебания по закону

с собственной круговой частотой .

Приведенные примеры показывают, что отличающиеся друг от друга механические системы совершают колебания, которые описываются одинаковыми уравнениями, т.е. ведут себя аналогичным образом.