Свободные затухающие электрические колебания в контуре
Реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Учтем фактор затухания в выражении для закона Ома или по второму правилу Кирхгофа.
.
Р
азделим
это уравнение на
и заменим ток
на заряд
.
В итоге получим:
Введем обозначение
и, учитывая, что
,
получим окончательно.
Это уравнение, как и ожидалось, совпадает
с дифференциальным уравнением затухающих
механических колебаний. При условии,
что
,
т.е. при
решение уравнения затухающих колебаний
имеет вид
,
(1)
где
.
Если в это выражение подставить
соответствующие выражения для
и
,
получим следующее соотношение для
частоты затухающих колебаний:
При получится выражение для собственной частоты незатухающих свободных колебаний в контуре.
Из уравнения для затухающих колебаний
легко получить формулу для напряжения
на конденсаторе, разделив уравнение
(1) на емкость
,
и выражение для тока в контуре после
дифференцирования этого же уравнения.
Отпуская эти и ряд других несложных
преобразований, запишем лишь один из
результатов анализа формул, которые
после этих преобразований могут быть
получены. Этот результат касается
разности фаз между током и падением
напряжения на конденсаторе колебательного
контура: при наличии активного
сопротивления в контуре сила тока
опережает по фазе напряжение на
конденсаторе на угол
,
больший, чем
(
).
График изменения заряда со временем изображен на рисунке и подобен соответствующему графику для механических колебаний.
Как и в случае механических колебаний, затухание электрических колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания:
.
Л
огарифмический
декремент затухания обратен по величине
числу колебаний
,
совершаемых за время, в течение которого
амплитуда затухающего колебания
уменьшится в
раз (за время релаксации). Если в выражение
для логарифмического декремента
затухания
подставить значения для
и
,
получим следующую форму записи:
Получили, что логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура, т.е. является его характеристикой.
Добротность контура – это величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.
Добротность контура пропорциональна числу колебаний , совершаемых за время релаксации. Добротность тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в раз.
Добротность контура определяется ещё и по-другому.
Э
то
отношение энергии в контуре в данный
момент времени к убыли энергии за один
период, следующий за этим моментом.
При
,
т.е. при
происходит апериодический разряд.
Конденсатор просто разряжается на сопротивление, и колебания не происходят.
Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением.
