§8. Точка заказа.

В простейшей модели Уилсона предполагалось, что заказы выполняются мгновенно, на практике такого не бывает, т.е. на доставку оптимальной партии поставки от поставщика к потребителю необходимо некоторое время. Рассмотрим различные варианты доставки партии заказа. Для этого обозначим через θ – время от момента начала оформления и момента размещения заказа до момента его появления у потребителя. Предполагается, что дефицит не допустим, т.е. потребитель должен непрерывно потреблять. Для этого заказ должен быть подан в тот момент, когда в запасе ещё имеется наличный ресурс, который хватил бы потребителю для удовлетворения потребностей за время реализации заказа.

Если τ^* – оптимальный интервал между поставками, т.е. время, в течение которого потребитель расходует всю оптимальную партию q^*, то θ=τ^*, т.е. время выполнения заказа совпадает с оптимальным интервалом между поставками. В этом случае очередной заказ должен быть подан в тот момент, когда поступила очередная партия поставки. Обычно величину наличного запаса, при котором подаётся заказ на пополнение, называют точкой заказа и обозначают через r.

В нашем случае, когда θ=τ^* точка заказа r=0. Средний уровень наличного запаса в любой момент времени в системе составит:

,

и эта величина называется фиктивным уровнем текущего запаса в любой момент времени; складывается из величины заказанного объёма τ^**ν и наличного запаса q^*/2.

Динамика изменения текущего уровня фиктивного запаса при θ=τ^* выглядит так, как показано на Рис.3 пунктирной линией.

В начальный момент времени t=0 в системе должен быть запас для бездефицитной работы системы.

19

§9. Учёт дискретного спроса.

В модели Уилсона предполагался спрос непрерывной величиной. Теперь рассмотрим случай, когда требования дискретны. Для этого предположим, что оптимальный размер партии поставки q^* – положительный и целочисленный.

Пусть L(q) – издержки содержания и заказа, которые определяются по формуле:

.

Определим эти издержки для q-1 и q+1, имеем:

.

Определим величины отклонений:

,

т.к. все величины положительные и q>1, и s достаточно мала.

.

Эти неравенства подтверждаются и графиком функции издержек L(q), изображённой на Рис.6.

Решая эту систему неравенств:

,

получим:

.

С учётом того, что q – должна быть целой, полагаем:

.

Если и левая, и правая части неравенства – целые числа, то в такой задаче два оптимальных решения:

и .

Оптимальный интервал между поставками τ^* можно также получить целочисленным. Для этого, воспользовавшись равенством q^*=ν*τ^*, можно представить удельные издержки работы системы за период τ как функцию от τ:

.

Аналогично предыдущему случаю, оптимальное целочисленное значение τ можно найти из условия:

Решая эту систему, определяем τ, удовлетворяющее двойному неравенству:

,

и оптимальное τ определяем, как и q^* , равенством:

,

где квадратные скобки означают наибольшее целое число, не превосходящее числа находящегося в скобках; и в этом случае оптимальных решений может быть два. Полученные величины q^* и τ^* связаны между собой равенством q^*=ν* τ^* .

Для дискретного спроса также можно найти точку размещения заказа. Пусть, как и прежде θ – время реализации заказа, а τ^* – оптимальный целочисленный период употребления оптимальной партии поставки q^*. Тогда: [θ/τ^*] – число циклов, вмещающихся на промежутке θ.

– время от момента размещения заказа до момента очередного поступления. В таком случае точка размещения заказа выразится формулой:

.

В таком случае начальный запас должен быть:

.

Моменты повторения заказов можно определить по формуле:

.