§4. Простейшая модель оптимального размера партии поставки (Модель Уилсона).
Модель Уилсона основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, которая минимизирует расходы на заказ и на содержание этого заказа. Предполагается, что управление запасами происходит на одиночной базе. Базой может служить склад, магазин, завод и т.д.
Партия поставки вычисляется при следующих допущениях и обозначениях:
Уровень запасов снижается равномерно, и его обозначают через I. I0 –первоначальный уровень запаса в системе;
Спрос или требования также равномерны. Обозначим через ν – интенсивность потребления;
Когда все запасы исчерпаны, подаётся заказ на поставку новой партии. Размер этой партии заказа обозначим через q;
Заказ выполняется мгновенно, т.е. время доставки равно нулю и размер партии q таков, что уровень запасов восстанавливается до значения I;
Накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой партии, не зависят от объёма партии и равны постоянной величине k;
Издержки содержания единицы продукции в единицу времени постоянны и равны s;
Издержки управления запасами в течение цикла обозначим через L.
Имена цикла обозначим через τ;
15
§7. Другая интерпретация модели Уилсона.
Модель Уилсона может быть использована и для других случаев расчёта издержек на производстве.
В частности, с помощью этой модели можно рассчитать оптимальную партию выпуска продукции на производстве, когда на одном и том же оборудовании выпускается несколько видов различной продукции. При этом необходимо только лишь переоборудовать оборудование.
Обозначим через
k
– издержки, связанные с переналадкой
оборудования. Эти издержки не зависят
от величины выпускаемой партии; через
q
обозначим
величину партии товара одного вида;
через ν
обозначим интенсивность годового
потребления продукции; s
– издержки
содержания единицы продукции в единицу
времени. Эти издержки могут быть
определены определённой величиной
процента p
от стоимости
единицы продукции α,
т.е.
.
При таких обозначениях, как и в случае модели Уилсона, определив общие издержки за цикл и разделив на длину цикла, получим основные параметры простейшей модели выпуска продукции партиями на одном и том же оборудовании:
.
16
§5. Свойства модели Уилсона.
Из формулы Уилсона следуют следующие свойства:
Если из формулы Уилсона:
Найдём k , получим:
.
С учётом формул из предыдущего параграфа получим:
,
т.е. в случае стационарного детерминированного спроса оптимальная партия поставки достигается при равенстве издержек формирования запасов и издержек их содержания. Это видно из графика изображённого на рис.2.
Величина партии поставки пропорциональна корню квадратному из интенсивности потребления, т.е., если обозначить через Q весь объём потребления за промежуток времени T, то:
,
где
.
Этой формулой можно пользоваться для приближённого расчёта партии поставки.
Централизация поставок приводит к экономии средств. Действительно, пусть n –заказчиков с интенсивностями потребления ν1 ,ν2 ,…,νn снабжаются децентрализовано. Тогда общий уровень текущего запаса составит:
При централизации запасов:
.
Поэтому средний запас системы составит:
.
Если теперь сравним Īд.ц. и Īц. , получим:
,
что легко видеть, если возвести обе части в квадрат.
Если для всех заказчиков интенсивность одинаковая, т.е. ν1 =ν2 =…=νn =ν , то:
.
Таким образом,
централизация запаса n
потребителей
снижает общий уровень текущего запаса
в
раз.
Аналогичный вывод получается при сравнении издержек функционирования системы, а именно:
.
С ростом величины потребления растут и абсолютные запасы, т.е., если ν2 >ν1 , то:
.
Если через Y обозначить относительные запасы, т.е.
,
то наоборот
.
Объединив оба случая можно сказать, что с ростом потребностей на складе должны увеличиваться абсолютные запасы, а относительные – наоборот, уменьшаться. Отсюда вывод: темпы роста потребностей должны опережать темпы роста запасов.
Органам снабжения иногда приходится оказывать услуги по подготовке запаса к потреблению, и за эти услуги они делают наценки на величину h . Предположим, что величина интенсивности спроса зависит от этой наценки ν =ν(h) . Если эта наценка большая – спрос уменьшается, и наоборот – при небольшой наценке спрос будет более интенсивным. Определим её оптимальное значение. Для этого обозначим прибыль при наценке h в единицу времени через:
.
Найдём максимальное значение этой прибыли:
или
.
Решив это дифференциальное уравнение аналитически или графически можно найти оптимальное значение h.
17