ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 6

1 Анализ алгоритмов методов 10

1.1 Метод LU-разложения 10

1.2 Метод Гаусса 12

1.3 Метод понижения порядка разложением по элементам строки 15

2 Решение задач 18

2.1 Метод LU разложения 18

2.2 Метод Гаусса 20

2.3 Метод понижения порядка разложением по элементам строки 22

3 Оценка решения задач заданными методами 25

4 Оценка влияния погрешности исходных данных на погрешность результата 27

4.1 Метод LU-разложения 28

4.2 Метод Гаусса 28

4.3 Метод понижения порядка разложением по элементам строки 28

4.4 Резюме о влиянии погрешности исходных данных 29

Библиографический список 30

Введение

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого математика была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа. Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники.

Вычислительная техника нашла эффективное применение при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях. Действительно, современные компьютеры за одну секунду выполняют такой объем вычислений, на который человеку не хватит всей жизни.

При решении задачи на компьютере основная роль все-таки принадлежит человеку. Машина лишь выполняет его задания по разработанной программе. Роль человека и машины легко уяснить, если процесс решения задачи разбить на следующие этапы.

1 Постановка задачи. Этот этап заключается в содержательной постановке задачи и определении конечных целей решения.

2 Построение математической модели. Другими словами математическая формулировка задачи.

3 Разработка численного метода. Поскольку компьютер может выполнять лишь простейшие операции, он «не понимает» постановки задачи даже в математической формулировке. Для ее решения должен быть найден численный метод, позволяющий свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму.

4 Разработка алгоритма. Процесс решения задачи записывается в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций, приводящей к конечному результату и называемой алгоритмом решения задачи.

5 Программирование. Алгоритм решения задачи записывается на понятном машине языке в виде точно определенной последовательности операций - программы для компьютера. Составление программы обычно производится с помощью некоторого промежуточного (алгоритмического) языка, а ее трансляция (перевод на машинный язык) осуществляется самой вычислительной системой. Далее по тексту, программу, представленную в виде алгоритмического языка, мы будем называть листингом.

6 Отладка программы. Составленная программа содержит разного рода ошибки, неточности, описки. Отладка программы на машине включает контроль программы, диагностику ошибок, их исправление. Программа испытывается на решении тестовых задач для получения уверенности в достоверности результатов.

7 Проведение расчетов. На этом этапе готовятся исходные данные для расчетов, и проводится счет по отлаженной программе.

8 Анализ результатов. Результаты расчетов анализируются на соответствие их истине.

Если при решении конкретной задачи возможно использование уже имеющихся прикладных программных средств, то некоторые из перечисленных этапов могут быть опущены. Так, для решения многих задач созданы программные продукты, существенно облегчающие труд вычислителя.

В данной курсовой работе будут рассмотрены три численных метода вычисления определителей: метод LU-разложения, метод Гаусса, метод понижения порядка разложением по строке. Каждый из этих методов будет применен к нахождению определителей следующих матриц.

(1)

(2)

(3)

Решения задачи будет производиться в математическом пакете Mathcad версии 14. Все алгоритмы будут представлены на внутреннем языке программирования пакета, синтаксически напоминающего язык программирования Си. По тексту листинги программ, написанных на листе пакета Mathcad, мы будем называть модулями.

Подразумевается, что читатель ознакомлен с принципами программирования в среде Mathcad, поэтому работа модулей специально не описывается.

Отметим только отдельные внутренние функции среды, которые применяются во всех модулях, потому что читатель может быть с ними не знаком.

IsArray(A) – возвращает единицу, если аргумент массив.

rows(A) – возвращает число строк массива.

cols(A) – возвращает число столбцов массива.

identity(n) – возвращает единичную матрицу порядка n.

error(“string”) – возвращает строку string как ошибку Mathcad.