
- •1 Формулы преобразования координат.
- •2 Алгебраические линии на плоскости.
- •3 Комплексная плоскость.
- •4 Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат.
- •5 Стандартная схема упрощения уравнения кривой второго порядка.
- •6 Полная классификация кривых второго порядка
- •7 Инварианты кривой второго порядка
- •8 Отыскание канонических уравнений по инвариантам.
- •9 Центр линии второго порядка.
- •10 Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления относительно кривой второго порядка
- •11 Диаметры кривой второго порядка
- •12 Сопряженные диаметры кривой второго порядка.
- •13 Касательная к линии второго порядка.
- •14 Главные направления. Главные диаметры.
- •15 Определение расположения квп по отношению к исходной системе координат.
- •16 Уравнение квп в аффинной системе координат.
12 Сопряженные диаметры кривой второго порядка.
Рассмотрим некоторый вектор неасимптотического направления . Тогда уравнение диаметра, сопряженного хордам данного направления имеет вид
Из этого уравнения находим координаты направляющего вектора этой прямой
Умножая
первое из этих соотношений на
,
второе на
и
складывая получим
Таково
необходимое условие, связывающее
координаты ненулевого вектора
,
параллельного хордам линии второго
порядка, заданной общим уравнением
,
и координаты ненулевого вектора
,
параллельного диаметру, сопряженному
этим хордам. Отметим, что условие
и
достаточно, так как из него следует, что
то есть -- ненулевой вектор, параллельный диаметру .
ТЕОРЕМА
12.1. Если
диаметр
центральной
кривой второго порядка является
множеством середин хорд, параллельных
диаметру
,
то диаметр
является
множеством середин хорд, параллельных
диаметру
.
Доказательство. Пусть
диаметр
сопряжен
вектору
,
а диаметр
--
вектору
.
По условию теоремы
параллелен
диаметру
.
Докажем, что
параллелен
диаметру
.
По формуле
диаметр
имеет
уравнение
Направляющий
вектор этой прямой
по
условию коллинеарен вектору
.
Используя, условие коллинеарности
векторов получаем, что
или что то же самое
т.е
вектор
--
направляющий вектор прямой
коллинеарен
вектору
.
Теорема доказана.
Определение 12.1. Два диаметра центральной кривой второго порядка называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.
Условие
можно
теперь рассматривать как необходимое
и достаточное условие сопряженности
двух диаметров центральной кривой.
Если
и
,
то это условие можно записать в виде
где
и
-
угловые коэффициенты сопряженных
диаметров.
13 Касательная к линии второго порядка.
Пусть относительно аффинной системы координат линия второго порядка задана общим уравнением .
Будем называть точку , лежащую на этой линии, обыкновенной, если среди чисел
есть хотя бы одно, не равное нулю. В противном случае точка называется особой.
Ясно, что точка , лежащая на линии , является особой тогда и только тогда, когда она является центром линии. Таким образом, среди всех линий второго порядка имеют особые точки только: пара пересекающихся прямых (мнимых или действительных) и пара совпавших прямых.
Определение 13.1. Прямая, проходящая через обыкновенную точку линии второго порядка, называется касательной к этой линии в точке , если она пересекает линию в двух совпавших точках или целиком содержится в этой линии.
ТЕОРЕМА 13.1. Пусть -- обыкновенная точка линии второго порядка, заданной уравнением . Тогда уравнение касательной к этой линии в точке имеет вид
или, что то же самое
Доказательство. Запишем параметрические уравнения прямой , проходящей через точку и параллельной вектору :
Параметры
точек пересечения этой прямой с данной
линией определяются из уравнения
,
которое в данном случае имеет вид
,
так как
лежит
на линии, и поэтому
.
По определению, прямая
является
касательной тогда и только тогда,
когда
.
Это означает, что
.
Поскольку
точка
--
обыкновенная, то
и
одновременно
не равны нулю, а значит равенство
определяет
единственное направление вектора
.
Следовательно уравнение прямой
(касательной)
можно записать в виде
или
которое после очевидных преобразований приводится в виду
Так как точка лежит на кривой второго порядка, то
Следовательно,
окончательно уравнение касательной
имеет вид
.
Теорема доказана.