Практическое нахождение прямолинейных образующих.

Для отыскания двух семейств прямолинейных образующих однополостного гиперболоида практически можно поступать так: перепишем каноническое уравнение однополостного гиперболоида в виде и рассмотрим два семейства прямых: одно, заданное уравнениями и другое, заданное уравнениями где   --- какие-либо действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; этому же условию удовлетворяют и числа  . Нетрудно проверить, что каждая из систем   и   определяет прямую линию, лежащую на поверхности заданного однополостного гиперболоида. Если обе части каждого из уравнений этих систем умножить на некоторое число, отличное от нуля, то мы получим новые системы, которые, очевидно определяют те же прямые. Значит, для нахождения уравнений этих прямых надо знать лишь отношение  . Для нахождения уравнений образующих, проходящих через данную точку  , следует в уравнения   и   подставить   вместо   тогда будут найдены   и  . Так могут быть получены, например, уравнения и образующих, проходящих через любую точку   горлового эллипса однополостного гиперболоида. Из уравнений   и   находим направляющие векторы соответственно прямых   и   : Таким образом, семейство прямолинейных образующих   совпадает с тем семейством, которое выше было названо семейством  , а семейство   совпадает с семейством  .

9 Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.

ТЕОРЕМА 9.1. Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две и только две его прямолинейные образующие. Доказательство. Пусть   --- произвольная точка гиперболического параболоида а параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку. Для того чтобы данная прямая целиком лежала на поверхности гиперболического параболоида, необходимо и достаточно, чтобы уравнение или или выполнялось при всех значениях  , а это возможно тогда и только тогда, когда Из первого уравнения находим Выбирая знак   и решая это уравнение совместно со вторым уравнением находим Выбирая знак   и решая это уравнение совместно со вторым уравнением находим Поскольку   --- направляющий вектор прямой, т.е. любой ненулевой вектор, то  . Полагая  , находим два возможных направляющих вектора прямолинейной образующей: Нетрудно видеть, что полученные векторы неколлинеарны. Теорема доказана. Мы видим, что прямолинейные образующие, параллельные первому вектору, параллельны плоскости  а прямолинейные образующие, параллельны второму вектору, параллельны плоскости Разобьем множество всех прямолинейных образующих гиперболического параболоида на два семейства, относя к первому семейству все образующие, параллельные плоскости  а ко второму семейству --- образующие, параллельные плоскости Как мы видели в § 5, плоскость   пересекает гиперболический параболоид   по паре прямых Прямая   принадлежит первому семейству, а прямая   --- второму. Выше было доказано, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной образующей их каждого семейства. Следовательно, через каждую точку прямой   проходит еще по одной образующей второго семейства. Прямая   принадлежит второму семейству и, следовательно, через ее точку проходит еще по одной образующей из первого семейства. Образующими, пересекающими прямые   и  , исчерпываются все прямолинейные образующие гиперболического параболоида  . В самом деле, прямые   и   пересекают друг друга; всякая же другая прямолинейная образующая гиперболического параболоида   пересекает плоскость  , а значит, и одну из прямых   или  , ибо плоскости, параллельные плоскости  , пересекают гиперболический параболоид   по гиперболам и, значит, не содержат его прямолинейных образующих. Таким образом, первое семейство прямолинейных образующих гиперболического параболоида   является множеством всех прямолинейных образующих, пересекающих прямую  , а второе семейство есть множество всех прямолинейных образующих гиперболического параболоида  , пересекающих прямую  . Гиперболический параболоид есть геометрическое место точек, принадлежащих всем прямолинейным образующим одного семейства. ТЕОРЕМА 9.2. Две прямолинейные образующие гиперболического параболоида из разных семейств пересекаются. Доказательство. Возьмем две прямолинейные образующие разных семейств и проходящие через точки   и   гиперболического параболоида. Эти прямые не параллельны и лежат в одной плоскости, так как Поэтому прямые пересекаются. ТЕОРЕМА 9.3. Две прямолинейные образующие гиперболического параболоида, принадлежащие одному семейству, скрещиваются. Доказательство. Возьмем две разные образующие, принадлежащие, например, первому семейству. Они проходят через две разные точки прямой  : и параллельны плоскости пересекающей прямую  . Таким образом, эти образующие лежат в параллельных плоскостях и поэтому не пересекаются. Но они не могут быть и параллельны, так как в противном случае все образующие второго семейства, пересекая эти две образующие в силу теоремы 9.2., лежали бы в плоскости, проходящей через эти две параллельные образующие. Это противоречиво, так как параболоид есть геометрическое место точек, принадлежащих всем образующим одного семейства. Замечание 9.1. Уравнения двух семейств прямолинейных образующих гиперболического параболоида можно взять в виде: одна серия

и другая серия

где   --- какие-либо действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; этому же условию удовлетворяют и числа  . Нетрудно видеть, что уравнениями   задается та серия прямолинейных образующих, которая выше была названа "второй", а уравнениями   --- серия, которая выше была названа "первой".