3. Построение роттердамской модели импорта

Базовым предположениям роттердамской модели является то, что репрезентативный потребитель старается максимизировать полезность приобретаемых товаров при ограниченных доходах или минимизировать свои расходы при заданной полезности. Это означает, что выбор потребителя формируется на основе модели вида (6.1.12), (6.1.13) или связанной с ней модели вида (6.1.32), (6.1.33). В модели (6.1.32), (6.1.33) минимизируется функция расходов при заданной полезности приобретаемых товаров. Эта модель и положена в основу рассматриваемой роттердамской модели спроса на импорт.

Пусть потребитель осуществляет выбор между n товарами. Цены этих товаров представим вектором , где - цена единицы i-го товара. Набор выбранных товаров будем обозначать вектором , где - количество i-го товара в потребительском наборе.

С учетом принятых обозначений функция расходов может быть записана в виде: m(p,u), а косвенная функция полезности (6.1.23) – в виде . При этом лемма Шепарда (см. п.п. 6.2) принимает вид

, (6.3.1)

а тождество Роя может быть записано в виде

. (6.3.2)

Вследствие свойства неоднородности нулевого порядка косвенной функции полезности (см. п.п.6.1.3) ее можно записать в «нормализованной форме»:

, (6.3.3)

где - вектор «нормализованнных» цен на соответствующие товары.

На основе (6.3.3) с учетом леммы Шепарда (3.1) и тождества Роя (3.2), удельный вес расходов потребителя на i-й товар может быть представлен в виде

(6.3.4)

Перепишем выражение (6.3.1) (лемму Шепарда), используя формулу полного дифференциала:

(6.3.5)

Разложим первое слагаемое формулы (6.3.5) в ряд Тейлора в окрестности некоторой «удобной» точки:

. (6.3.6)

Из уравнения Слуцкого непосредственно следует, что .

Вычислим , используя формулу полного дифференциала сложной функции. Имеем: . Продолжим преобразования:

;

(6.3.7)

Учитывая, что по условию функция расходов равна совокупному доходу (бюджетному ограничению), можно записать, что . Вынесем за скобки дробь , следовательно, выражение (6.3.7) преобразовывается к виду:

(6.3.8)

Поскольку (см. формулу (3.4)), дифференциал логарифма функции полезности имеет окончательный вид:

(6.3.9)

Далее преобразуем выражение (6.3.6), умножив его на , учитывая, что и :

(6.3.10)

Используем выводы, полученные при нахождении , представив, что . Докажем последнее утверждение:

(6.3.11)

Поскольку в точке х_i^* функции спроса по Маршаллу и Хиксу принимают равные значения, можно записать, что

(6.3.12)

С учетом вышесказанного, переписываем равенство (6.3.10):

. (6.3.13)

Преобразуем второе, третье и четвертое слагаемые формулы (6.3.13):

(6.3.13 а)

, (6.3.13 б)

где - эластичность спроса на i-й товар по доходу;

- дифференциал логарифмического уровня цен, при условии, что ;

,

(6.3.13 в)

где - перекрестная эластичность компенсированного спроса (по Хиксу) на i-й товар по цене j- го товара.

Перепишем уравнение (6.3.13), с учетом преобразований (6.3.13 а), (6.3.13 б), (6.3.13 в):

(6.3.14)

Преобразуем выражение , используя формулу дифференциала частного

(6.3.15)

В итоге получаем формулу, известную как Роттердамская модель импорта:

. (6.3.16)

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели одну из наиболее широко применимых моделей спроса. Она опирается на решение задачи максимизации полезности потребителя.

Основной недостаток рассмотренной модели и других моделей этого класса состоит в том, что разрешимость задачи условной максимизации не гарантирована для сложных функциональных форм полезности потребителя (например, неоднородных). Это обусловило развитие и других подходов к моделированию спроса.

Так второй подход к моделированию спроса связан с теорией двойственности потребительского выбора и тождеством Роя. Как известно из стандартной микроэкономической теории, функция спроса связана как с прямой, так и с косвенной функцией полезности. Функция спроса на товар в общем виде получается как решение задачи максимизации прямой функции полезности, в то время как косвенная функция полезности получается подстановкой этого решения (функции спроса) обратно в функцию полезности. Таким образом, косвенная полезность зависит не от количества потребляемых товаров, но от их цен и дохода потребителя и, тем самым, легче поддается статистическому измерению. При этом тождество Роя, гарантирует оптимальность как прямой, так и косвенной функции полезности.

Тождество Роя позволяет получить в явном виде функции спроса на основании косвенной полезности, причем для этого фактически не требуется решать задачу оптимизации, как в первом подходе. Это позволяет применять в формулировке систем спроса, основанных на данном подходе, достаточно гибкие с точки зрения накладываемых ограничений функциональные формы.

Тем не менее, данный подход также является ограниченным и позволяет учесть лишь некоторые специальные виды предпочтений. Это связано с большой вычислительной сложностью моделей данного типа. Только для случая однородной функции косвенной полезности эти модели сводятся к линейным аппроксимациям. Введение же предпосылки об однородности функции косвенной полезности является существенно ограничивающим условием.

Третьим подходом является вывод функций спроса в форме долей расходов на товар из функции расходов с помощью леммы Шепарда. Данный вывод аналогичен выводу функции спроса на основе тождества Роя. Достоинством третьего подхода к построению систем спроса является отсутствие предпосылок о форме прямой или косвенной функции полезности. Вместо этого вывод функций спроса опирается на предпосылку о форме функции расходов потребителя. Для существования функций спроса достаточно выполнения принципа оптимальности поведения потребителя. Требуется существование только функции расходов, которая гораздо легче поддается измерению, а не функций прямой или косвенной полезности. Если функция расходов является дифференцируемой, то ее производные по ценам могут рассматриваться как функции спроса в форме долей расходов.

1 Идеального рационального потребителя называют “экономическим человеком” (homo economicus”)

2 Градиентом функции f(x₁,x₂) в точке (х₁*,х₂*) называется вектор, координаты которого равняются значениям частных производных функции в данной точке. Если обозначит градиент через grad f (х₁*,х₂*),то